Encontre a primeira e a segunda derivada das funções abaixo
f(x)=x^{4} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivada da função
f(x)=x^{4}e^{x}.
O conteúdo principal é a regra do produto e as derivadas básicas de x^{n} e de e^{x}.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{4},\quad v(x)=e^{x}.
Então
u'(x)=4x^{3},\quad v'(x)=e^{x}
e, pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=4x^{3}e^{x}+x^{4}e^{x}.

Passo 3

Fatorando e^{x}x^{3}, obtemos
f'(x)=e^{x}x^{3}(4+x)=e^{x}x^{3}(x+4).

Passo 4

Para f''(x), aplicamos novamente a regra do produto a
f'(x)=\bigl(4x^{3}+x^{4}\bigr)e^{x}.
Chamando w(x)=4x^{3}+x^{4} e z(x)=e^{x}, temos
w'(x)=12x^{2}+4x^{3},\quad z'(x)=e^{x},
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f''(x)=w'(x)\,z(x)+w(x)\,z'(x) =(12x^{2}+4x^{3})e^{x}+(4x^{3}+x^{4})e^{x}.

Passo 5

Agrupando termos em e^{x}:
f''(x)=e^{x}\bigl(12x^{2}+8x^{3}+x^{4}\bigr) =e^{x}x^{2}(12+8x+x^{2}).
Além disso, 12+8x+x^{2}=(x+2)(x+6), de modo que
f''(x)=e^{x}x^{2}(x+2)(x+6).

Resposta

f'(x)=e^{x}x^{3}(x+4)
f''(x)=e^{x}x^{2}(12+8x+x^{2}) \quad\bigl(=e^{x}x^{2}(x+2)(x+6)\bigr)

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