A curva
é denominada serpentina.
Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto (
).
Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto (
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de tangência é
. - Observação útil:
corresponde a (pois ).
Passo 2
O que precisamos fazer na prova: a reta tangente em um ponto tem inclinação igual à derivada da função nesse ponto. Então:
- Definição prática: a inclinação
da reta tangente em é , onde é a derivada de em relação a . - Método que vamos usar: derivar
usando a regra do quociente.
Explicando a regra do quociente (com calma e exemplo): se
, então
Aqui:
-
é o numerador, -
é o denominador, -
e são as derivadas de e .
Passo 3
Identificamos
e
para a função dada:
Derivadas simples:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Portanto a derivada simplificada é
Explicação rápida: combinamos termos semelhantes no numerador (
e
) para obter
.
Passo 5
Agora avaliamos a derivada em
para obter a inclinação
:
Em decimal isso é
(ou seja
).
Passo 6
Usamos a fórmula da reta em forma ponto-inclinação (fácil de aplicar na prova):
Substituindo
,
e
:
Podemos transformar para a forma explícita
. Distribuindo:
Somando
aos dois lados (lembrando que
e
se quiser ver em frações com denominador comum):
Somando
com
(ou em 25 avos:
— para evitar frações decimais melhor somar em cinquenta avos):
Portanto a forma final é
Passo 7
Verificação rápida (apenas para ficar mais confiante): para
,
logo a reta realmente passa pelo ponto dado.