A curva y=x /\left(1+x^{2}\right) é denominada serpentina.
Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 3 ; 0,3 ).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma equação da reta tangente à curva y=\dfrac{x}{1+x^{2}} no ponto (3;0,3).
Informações dadas:
  • A função é y=\dfrac{x}{1+x^{2}}.
  • O ponto de tangência é (x_{0},y_{0})=(3;0,3).
  • Observação útil: 0,3 corresponde a \dfrac{3}{10} (pois \dfrac{3}{1+3^{2}}=\dfrac{3}{10}=0,3).

Passo 2

O que precisamos fazer na prova: a reta tangente em um ponto tem inclinação igual à derivada da função nesse ponto. Então:
  • Definição prática: a inclinação m da reta tangente em x_{0} é m=y'(x_{0}), onde y'(x) é a derivada de y em relação a x.
  • Método que vamos usar: derivar y=\dfrac{x}{1+x^{2}} usando a regra do quociente.
Explicando a regra do quociente (com calma e exemplo): se y=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador,
  • v(x) é o denominador,
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.

Passo 3

Identificamos u(x) e v(x) para a função dada:
u(x)=x,\qquad v(x)=1+x^{2}.
Derivadas simples:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2x.
Agora aplicamos a regra do quociente:
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(1+x^{2})-x\cdot(2x)}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
1\cdot(1+x^{2})-x\cdot(2x)=1+x^{2}-2x^{2}=1 - x^{2}.
Portanto a derivada simplificada é
y'=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Explicação rápida: combinamos termos semelhantes no numerador ( +x^{2} e -2x^{2} ) para obter -x^{2}.

Passo 5

Agora avaliamos a derivada em x_{0}=3 para obter a inclinação m:
m=y'(3)=\frac{1-3^{2}}{(1+3^{2})^{2}}=\frac{1-9}{(1+9)^{2}}=\frac{-8}{10^{2}}=\frac{-8}{100}=\frac{-2}{25}.
Em decimal isso é m=-0,08 (ou seja m=-\tfrac{2}{25}).

Passo 6

Usamos a fórmula da reta em forma ponto-inclinação (fácil de aplicar na prova):
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=3, y_{0}=0,3 e m=-\tfrac{2}{25}:
y-0,3=-\frac{2}{25}(x-3).
Podemos transformar para a forma explícita y=mx+b. Distribuindo:
y-0,3=-\frac{2}{25}x+\frac{6}{25}.
Somando 0,3 aos dois lados (lembrando que 0,3=\dfrac{3}{10}=\dfrac{15}{50} e \dfrac{6}{25}=\dfrac{12}{50} se quiser ver em frações com denominador comum):
y=-\frac{2}{25}x+\frac{6}{25}+0,3.
Somando \dfrac{6}{25} com 0,3=\dfrac{3}{10}=\dfrac{15}{50}=\dfrac{27}{50} (ou em 25 avos: \dfrac{6}{25}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{6}{25}+\dfrac{7,5}{25}=\dfrac{13,5}{25} — para evitar frações decimais melhor somar em cinquenta avos):
\frac{6}{25}+0,3=\frac{6}{25}+\frac{3}{10}=\frac{12}{50}+\frac{15}{50}=\frac{27}{50}.
Portanto a forma final é
y=-\frac{2}{25}x+\frac{27}{50}.

Passo 7

Verificação rápida (apenas para ficar mais confiante): para x=3,
y=-\frac{2}{25}\cdot 3+\frac{27}{50}=-\frac{6}{25}+\frac{27}{50}=-\frac{12}{50}+\frac{27}{50}=\frac{15}{50}=\frac{3}{10}=0,3,
logo a reta realmente passa pelo ponto dado.

Resposta

y=-\dfrac{2}{25}x+\dfrac{27}{50}

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