Derive.
f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: foi dada a função
f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right).
O objetivo é calcular a derivada f'(z). Não há outras informações necessárias.

Passo 2

Lembra do que usar: quando uma função é produto de duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto diz que, para u(z) e v(z),
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui vamos identificar as duas funções que compõem o produto para aplicar essa regra.

Passo 3

Identificar u e v. Tome
u(z)=1-e^{z},\qquad v(z)=z+e^{z}.
Agora precisamos das derivadas u'(z) e v'(z). Lembrete rápido: a derivada de e^{z} em relação a z é e^{z}, e a derivada de z é 1.

Passo 4

Calcular u'(z) e v'(z) explicitamente:
u'(z)=\frac{d}{dz}\bigl(1-e^{z}\bigr)=-e^{z},
v'(z)=\frac{d}{dz}\bigl(z+e^{z}\bigr)=1+e^{z}.
Expliquei: o 1 some (derivada zero), e e^{z} permanece e^{z} com sinal adequado.

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
f'(z)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).
Substituindo u,u',v,v' que encontramos:
f'(z)=\bigl(-e^{z}\bigr)\bigl(z+e^{z}\bigr)+\bigl(1-e^{z}\bigr)\bigl(1+e^{z}\bigr).

Passo 6

Vamos expandir cada termo passo a passo. Primeiro termo:
\bigl(-e^{z}\bigr)\bigl(z+e^{z}\bigr)=-z e^{z}-e^{2z}.
Segundo termo (produto notável):
\bigl(1-e^{z}\bigr)\bigl(1+e^{z}\bigr)=1-e^{2z}.

Passo 7

Somar as duas expansões:
f'(z)=\bigl(-z e^{z}-e^{2z}\bigr)+\bigl(1-e^{2z}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
f'(z)=1 - z e^{z} - e^{2z} - e^{2z}.

Passo 8

Combinar os dois termos em e^{2z}:
f'(z)=1 - z e^{z} - 2e^{2z}.
Uma forma alternativa de escrever fatorando e^{z} é
f'(z)=1 - e^{z}\bigl(z+2e^{z}\bigr),
que é equivalente.

Resposta

f'(z)=1 - z e^{z} - 2e^{2z}

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