Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
y=x g(x)

Passo 1

O enunciado dá uma função y definida por
y = x\,g(x),
onde g é uma função diferenciável (ou seja, g'(x) existe para os x que interessam). A pergunta é: encontrar uma expressão para a derivada de y em termos de g e g'.
Informações relevantes:
  • x é a variável independente.
  • g(x) é uma função de x e é diferenciável.
  • Precisamos calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Intuição do que vamos usar: quando uma função é produto de duas funções de x (aqui x e g(x)), a derivada do produto não é simplesmente o produto das derivadas. Existe uma regra chamada regra do produto que diz como proceder. Vou primeiro enunciar a regra e explicar o que cada símbolo significa.
Regra do produto (enunciado): se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então a derivada de u(x)v(x) é
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Significado dos símbolos:
  • u'(x)=\dfrac{du}{dx} é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x)=\dfrac{dv}{dx} é a derivada de v em relação a x.
  • O lado direito tem dois termos: o primeiro deriva u deixando v igual, o segundo deriva v deixando u igual.

Passo 3

Breve prova (intuitiva e direta) da regra do produto, usando definição de derivada por limite, para fixar a ideia:
Defina u(x) e v(x). A derivada do produto é
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.
Somamos e subtraímos o termo u(x+h)v(x) dentro do numerador para reorganizar:
\begin{aligned} \frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h} &=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}\\[4pt] &=\frac{u(x+h)\big(v(x+h)-v(x)\big)}{h}+\frac{\big(u(x+h)-u(x)\big)v(x)}{h}. \end{aligned}
Agora fazemos o limite h\to0. Como u e v são diferenciáveis, u(x+h)\to u(x) e \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\to v'(x), e \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\to u'(x). Assim o limite fica
u(x)\,v'(x) + u'(x)\,v(x),
que é exatamente a regra do produto (os termos aparecem na ordem que preferir). Isso prova a fórmula.]

Passo 4

Aplicando a regra do produto ao nosso caso. Identificamos:
u(x)=x,\qquad v(x)=g(x).
Calculamos as derivadas auxiliares:
u'(x)=\frac{d}{dx}x = 1, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}g(x)=g'(x).
Pela regra do produto,
\frac{dy}{dx} = u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) = 1\cdot g(x) + x\cdot g'(x).

Passo 5

Simplificando o resultado, obtemos
\frac{dy}{dx} = g(x) + x\,g'(x).
Verificação rápida com um exemplo concreto (para ganhar confiança): se g(x)=x^2, então y=x\cdot x^2 = x^3 e \dfrac{dy}{dx}=3x^2. Pela fórmula: g(x)+xg'(x)=x^2 + x\cdot 2x = x^2+2x^2=3x^2. Confere!

Passo 6

Dicas práticas para a prova:
  • Sempre identifique as duas funções do produto: uma costuma ser simples (como x, e^x, \sin x, etc.) e a outra pode ser mais complexa ( g(x)).
  • Aplique diretamente u'v+uv'. Não tente multiplicar tudo primeiro, salvo quando isso simplifica muito.
  • Lembre que g'(x) é apenas a derivada de g; se você souber a forma de g pode calcular g' explicitamente.

Resposta

\,g(x)+x\,g'(x)

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