Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida por
onde
é uma função diferenciável (ou seja,
existe para os
que interessam). A pergunta é: encontrar uma expressão para a derivada de
em termos de
e
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
é a variável independente. -
é uma função de e é diferenciável. - Precisamos calcular
.
Passo 2
Intuição do que vamos usar: quando uma função é produto de duas funções de
(aqui
e
), a derivada do produto não é simplesmente o produto das derivadas. Existe uma regra chamada regra do produto que diz como proceder. Vou primeiro enunciar a regra e explicar o que cada símbolo significa.
Regra do produto (enunciado): se
e
são diferenciáveis, então a derivada de
é
Significado dos símbolos:
-
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . - O lado direito tem dois termos: o primeiro deriva
deixando igual, o segundo deriva deixando igual.
Passo 3
Breve prova (intuitiva e direta) da regra do produto, usando definição de derivada por limite, para fixar a ideia:
Defina e
. A derivada do produto é
Defina
Somamos e subtraímos o termo
dentro do numerador para reorganizar:
Agora fazemos o limite
. Como
e
são diferenciáveis,
e
, e
. Assim o limite fica
que é exatamente a regra do produto (os termos aparecem na ordem que preferir). Isso prova a fórmula.]
Passo 4
Aplicando a regra do produto ao nosso caso. Identificamos:
Calculamos as derivadas auxiliares:
Pela regra do produto,
Passo 5
Simplificando o resultado, obtemos
Verificação rápida com um exemplo concreto (para ganhar confiança): se
, então
e
. Pela fórmula:
. Confere!
Passo 6
Dicas práticas para a prova:
- Sempre identifique as duas funções do produto: uma costuma ser simples (como
, , , etc.) e a outra pode ser mais complexa ( ). - Aplique diretamente
. Não tente multiplicar tudo primeiro, salvo quando isso simplifica muito. - Lembre que
é apenas a derivada de ; se você souber a forma de pode calcular explicitamente.