Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
y=\frac{x}{g(x)}

Passo 1

O enunciado dá que g é uma função derivável e pede a derivada da função
y=\frac{x}{g(x)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função g é derivável (logo g'(x) existe para os x em que g é definida).
  • Para que y esteja bem definida é necessário que g(x)\neq0 nos pontos considerados.
    O que devemos devolver: uma expressão para y' (a derivada de y) em termos de g(x), g'(x) e x.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): é conveniente escrever \dfrac{x}{g(x)} como produto para usar regras básicas que todo mundo decorou na prova:
y = x\cdot\bigl(g(x)\bigr)^{-1}.
Aqui a ideia é aplicar a regra do produto (derivada de u\cdot v) combinada com a regra da cadeia para derivar v(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{-1}. Vou lembrar (e explicar) essas regras antes de aplicar.

Passo 3

Lembrando as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são deriváveis, então
\bigl(u(x)v(x)\bigr)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Isto significa: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, somar o primeiro vezes a derivada do segundo.
  • Regra da cadeia (caso simples): se h(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{n} com n constante, então
h'(x)=n\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}\cdot g'(x).
No nosso caso v(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{-1}, então usando a regra da cadeia com n=-1 obtemos
v'(x) = -1\cdot\bigl(g(x)\bigr)^{-2}\cdot g'(x) = -\frac{g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.
Tudo isso é puro mecânico: potência para fora, diminui o expoente em 1, multiplica pela derivada do interno g'(x).

Passo 4

Agora aplico a regra do produto a y = x\cdot\bigl(g(x)\bigr)^{-1}.
  • Aqui u(x)=x tem u'(x)=1.
  • Aqui v(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{-1} tem v'(x)=-\dfrac{g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}} (obtido no passo anterior).
Portanto, pela regra do produto,
y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1\cdot\frac{1}{g(x)} + x\cdot\left(-\frac{g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}\right).
Colocando em uma única fração (colocando o mesmo denominador \bigl(g(x)\bigr)^{2}):
y' = \frac{1}{g(x)} - \frac{x\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}} = \frac{g(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}} - \frac{x\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}} = \frac{g(x) - x\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.

Passo 5

Interpretação, condição e exemplo rápido:
  • Resultado final válido apenas onde g(x)\neq0, pois houve divisão por \bigl(g(x)\bigr)^{2}.
  • A forma obtida coincide com a da regra do quociente (se preferir decorar a fórmula do quociente, dá o mesmo):
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
aplicando com u(x)=x e v(x)=g(x) também dá \dfrac{g(x)-xg'(x)}{g(x)^{2}}.
  • Exemplo numérico para fixar: se g(x)=x^{2}+1 então g'(x)=2x e
y'=\frac{x^{2}+1 - x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Força aí — agora você sabe como derivar uma fração do tipo x/g(x) tanto por produto+cadeia quanto lembrando o quociente direto. Dá pra fazer rápido na prova.

Resposta

y'=\frac{g(x)-x\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}},\quad \text{para } g(x)\neq0.

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