Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma função derivável e pede a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é derivável (logo existe para os em que é definida). - Para que
esteja bem definida é necessário que nos pontos considerados.
O que devemos devolver: uma expressão para(a derivada de ) em termos de , e .
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): é conveniente escrever
como produto para usar regras básicas que todo mundo decorou na prova:
Aqui a ideia é aplicar a regra do produto (derivada de
) combinada com a regra da cadeia para derivar
. Vou lembrar (e explicar) essas regras antes de aplicar.
Passo 3
Lembrando as regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
e são deriváveis, então
Isto significa: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, somar o primeiro vezes a derivada do segundo.
- Regra da cadeia (caso simples): se
com constante, então
No nosso caso
, então usando a regra da cadeia com
obtemos
Tudo isso é puro mecânico: potência para fora, diminui o expoente em 1, multiplica pela derivada do interno
.
Passo 4
Agora aplico a regra do produto a
.
- Aqui
tem . - Aqui
tem (obtido no passo anterior).
Portanto, pela regra do produto,
Colocando em uma única fração (colocando o mesmo denominador
):
Passo 5
Interpretação, condição e exemplo rápido:
- Resultado final válido apenas onde
, pois houve divisão por . - A forma obtida coincide com a da regra do quociente (se preferir decorar a fórmula do quociente, dá o mesmo):
aplicando com
e
também dá
.
- Exemplo numérico para fixar: se
então e
Força aí — agora você sabe como derivar uma fração do tipo
tanto por produto+cadeia quanto lembrando o quociente direto. Dá pra fazer rápido na prova.