Encontre a derivada
de duas formas: usando a Regra do Produto e efetuando primeiro a multiplicação. As respostas são iguais?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a derivada de
usando a Regra do Produto. - Calcular a mesma derivada primeiro efetuando a multiplicação (expandindo) e depois derivando termo a termo.
Também pergunta se as duas respostas são iguais.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras restrições ou dados adicionais.
Passo 2
Vamos lembrar as regras que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Regra do Produto: se
, então
Isto significa que derivamos a primeira função, multiplicamos pela segunda sem derivar, e somamos com a primeira sem derivar vezes a derivada da segunda.
- Regra do Potência (caso mais usado aqui): para
com inteiro, . - Linearidade da derivada: a derivada de soma é soma das derivadas, e constantes saem da derivada.
Agora aplicamos a Regra do Produto definindo as partes:
- Tome
. Então, usando a regra do potência:
Aqui expliquei: a derivada de
é
; a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
, portanto
.
- Tome
. Derivando termo a termo:
Agora a Regra do Produto diz:
Passo 3
Substituindo
na fórmula:
Vamos desenvolver e simplificar passo a passo (aqui explico como combinar termos):
- Primeiro termo:
é
- Segundo termo:
é (distribuindo cada termo)
Agora somamos os dois resultados:
Somando coeficientes semelhantes:
Portanto, via Regra do Produto chegamos a
Passo 4
Agora faremos o segundo método: primeiro multiplicar as duas expressões e depois derivar termo a termo.
Multiplicando
passo a passo (distribuição):
Logo
Passo 5
Agora derivamos termo a termo aplicando a regra do poder a cada monômio e usando linearidade:
-
. -
. -
. -
.
Somando tudo:
Passo 6
Comparação e conclusão:
- As duas formas (Regra do Produto e expandir antes de derivar) produziram a mesma expressão para
. - Isso sempre acontece para funções polinomiais bem comportadas: expandir e depois derivar ou aplicar a Regra do Produto dão o mesmo resultado porque a derivada é linear e as operações são equivalentes algebraicamente.
Resposta
Sim — as duas formas produzem a mesma derivada.