Encontre a derivada f(x)=\left(1+2 x^{2}\right)\left(x-x^{2}\right) de duas formas: usando a Regra do Produto e efetuando primeiro a multiplicação. As respostas são iguais?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a derivada de f(x)=\left(1+2 x^{2}\right)\left(x-x^{2}\right) usando a Regra do Produto.
  • Calcular a mesma derivada primeiro efetuando a multiplicação (expandindo) e depois derivando termo a termo.
    Também pergunta se as duas respostas são iguais.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\left(1+2 x^{2}\right)\left(x-x^{2}\right).
  • Não há outras restrições ou dados adicionais.

Passo 2

Vamos lembrar as regras que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Regra do Produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa que derivamos a primeira função, multiplicamos pela segunda sem derivar, e somamos com a primeira sem derivar vezes a derivada da segunda.
  • Regra do Potência (caso mais usado aqui): para x^{n} com n inteiro, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Linearidade da derivada: a derivada de soma é soma das derivadas, e constantes saem da derivada.
Agora aplicamos a Regra do Produto definindo as partes:
  • Tome u(x)=1+2x^{2}. Então, usando a regra do potência:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(1+2x^{2}\right)=0+2\cdot 2x=4x.
Aqui expliquei: a derivada de 1 é 0; a derivada de 2x^{2} é 2 vezes a derivada de x^{2}, que é 2x, portanto 4x.
  • Tome v(x)=x-x^{2}. Derivando termo a termo:
v'(x)=\frac{d}{dx}\left(x-x^{2}\right)=1-2x.
Agora a Regra do Produto diz:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Substituindo u,u',v,v' na fórmula:
f'(x)=4x\,(x-x^{2})+(1+2x^{2})\,(1-2x).
Vamos desenvolver e simplificar passo a passo (aqui explico como combinar termos):
  • Primeiro termo: 4x\,(x-x^{2}) é
4x\cdot x - 4x\cdot x^{2}=4x^{2}-4x^{3}.
  • Segundo termo: (1+2x^{2})(1-2x) é (distribuindo cada termo)
1\cdot 1 + 1\cdot(-2x) + 2x^{2}\cdot 1 + 2x^{2}\cdot(-2x)=1-2x+2x^{2}-4x^{3}.
Agora somamos os dois resultados:
4x^{2}-4x^{3} + (1-2x+2x^{2}-4x^{3}) = 1-2x+(4x^{2}+2x^{2})+(-4x^{3}-4x^{3}).
Somando coeficientes semelhantes:
1-2x+6x^{2}-8x^{3}.
Portanto, via Regra do Produto chegamos a
f'(x)=1-2x+6x^{2}-8x^{3}.

Passo 4

Agora faremos o segundo método: primeiro multiplicar as duas expressões e depois derivar termo a termo.
Multiplicando (1+2x^{2})(x-x^{2}) passo a passo (distribuição):
1\cdot x + 1\cdot(-x^{2}) + 2x^{2}\cdot x + 2x^{2}\cdot(-x^{2}) = x - x^{2} + 2x^{3} - 2x^{4}.
Logo
f(x)=x - x^{2} + 2x^{3} - 2x^{4}.

Passo 5

Agora derivamos termo a termo aplicando a regra do poder a cada monômio e usando linearidade:
  • \dfrac{d}{dx}x = 1.
  • \dfrac{d}{dx}(-x^{2}) = -2x.
  • \dfrac{d}{dx}(2x^{3}) = 2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}(-2x^{4}) = -2\cdot 4x^{3}=-8x^{3}.
Somando tudo:
f'(x)=1-2x+6x^{2}-8x^{3}.

Passo 6

Comparação e conclusão:
  • As duas formas (Regra do Produto e expandir antes de derivar) produziram a mesma expressão para f'(x).
  • Isso sempre acontece para funções polinomiais bem comportadas: expandir e depois derivar ou aplicar a Regra do Produto dão o mesmo resultado porque a derivada é linear e as operações são equivalentes algebraicamente.

Resposta

\,f'(x)=1-2x+6x^{2}-8x^{3}\,
Sim — as duas formas produzem a mesma derivada.

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