Encontre os volumes dos sólidos obtidos pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x e y=x^{2} em torno das seguintes retas:
c) y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=2 a região do plano limitada pelas curvas \;y=x e \;y=x^2. Trata-se de um problema de cálculo de volumes por revolução usando o método dos discos (ou dos anéis), em que, para cada x entre os pontos de interseção, construímos um “anél” de espessura dx.

Passo 2

Determinamos os limites em x pela interseção de
y = x \quad\text{e}\quad y = x^2.
Resolvendo
x = x^2 \;\Longrightarrow\; x(x-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.
Logo a região vai de x=0 até x=1.

Passo 3

Para cada x\in[0,1], a “faixa” vertical vai de y=x^2 (parte mais baixa) até y=x (parte mais alta). Ao girar em torno de y=2, obtemos um anel cuja:
  • raio externo é a distância de y=2 até o ponto mais baixo da faixa, ou seja
R(x)=2 - x^2,
  • raio interno é a distância de y=2 até o ponto mais alto da faixa, ou seja
r(x)=2 - x.
A área de cada anel é
A(x) =\pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr] =\pi\Bigl[(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2\Bigr].

Passo 4

Escrevemos o volume como
V = \int_{x=0}^{1} A(x)\,dx =\pi \int_{0}^{1} \bigl[(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2\bigr]\,dx.
Expandindo o integrando:
(2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4, \quad (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2,
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(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2 = \bigl(4 - 4x^2 + x^4\bigr) - \bigl(4 - 4x + x^2\bigr) = x^4 - 5x^2 + 4x.
Assim
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl(x^4 - 5x^2 + 4x\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1} x^4\,dx = \frac{x^5}{5}\Big|_0^1 = \frac15, \quad \int_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \frac13, \quad \int_{0}^{1} x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_0^1 = \frac12.
Logo
\int_{0}^{1} \bigl(x^4 - 5x^2 + 4x\bigr)\,dx = \frac15 - 5\!\cdot\!\frac13 + 4\!\cdot\!\frac12 = \frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 2 = \frac{8}{15}.
Portanto
V = \pi \,\frac{8}{15} = \frac{8\pi}{15}.

Resposta

V = \frac{8\pi}{15}.

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