Encontre os volumes dos sólidos obtidos pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno das seguintes retas:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta
a região do plano limitada pelas curvas
e
. Trata-se de um problema de cálculo de volumes por revolução usando o método dos discos (ou dos anéis), em que, para cada
entre os pontos de interseção, construímos um “anél” de espessura
.
Passo 2
Determinamos os limites em
pela interseção de
Resolvendo
Logo a região vai de
até
.
Passo 3
Para cada
, a “faixa” vertical vai de
(parte mais baixa) até
(parte mais alta). Ao girar em torno de
, obtemos um anel cuja:
- raio externo é a distância de
até o ponto mais baixo da faixa, ou seja
- raio interno é a distância de
até o ponto mais alto da faixa, ou seja
A área de cada anel é
Passo 4
Escrevemos o volume como
Expandindo o integrando:
logo
Assim
Passo 5
Calculamos a integral:
Logo
Portanto