Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas equações que descrevem uma curva no plano, usando um parâmetro chamado
. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma única equação cartesiana mais simples e descobrir que tipo de curva é essa. Para isso, vamos precisar usar trigonometria básica, especialmente as relações entre seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que nos foram dadas:
Aqui,
e
dependem de
, o que significa que conforme
varia de 0 a
,
e
mudam acompanhando essas funções de seno e cosseno.
Passo 3
Nosso próximo passo é eliminar o parâmetro
para obter uma relação direta entre
e
. Para isso, vamos isolar as funções trigonométricas nas equações dadas.
Vamos começar isolando
e
:
Passo 4
Agora, sabemos da trigonometria que
. Vamos usar essa identidade para relacionar
e
:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Como os denominadores são iguais, podemos combinar os termos:
Multiplicando ambos os lados por 25:
Passo 6
Pronto! Essa é a equação cartesiana reduzida da curva. Vamos analisar que tipo de curva é essa. A forma geral da equação de um círculo é:
Onde
é o centro e
é o raio.
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que:
- Centro:
- Raio:
Resposta
A equação cartesiana reduzida é
, e a curva é um círculo com centro em
e raio 5.