Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
lx(theta)=-3+5 cos (theta) y(theta)=2+5 sen(theta), 0 <= theta<2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas equações que descrevem uma curva no plano, usando um parâmetro chamado theta. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma única equação cartesiana mais simples e descobrir que tipo de curva é essa. Para isso, vamos precisar usar trigonometria básica, especialmente as relações entre seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que nos foram dadas:
x(theta) = -3 + 5 cos(theta) y(theta) = 2 + 5 sin(theta) , 0 <= theta < 2pi
Aqui, x(theta) e y(theta) dependem de theta, o que significa que conforme theta varia de 0 a 2pi, x e y mudam acompanhando essas funções de seno e cosseno.

Passo 3

Nosso próximo passo é eliminar o parâmetro theta para obter uma relação direta entre x e y. Para isso, vamos isolar as funções trigonométricas nas equações dadas.
Vamos começar isolando cos(theta) e sin(theta):
cos(theta) = x + 35
sin(theta) = y - 25

Passo 4

Agora, sabemos da trigonometria que cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1. Vamos usar essa identidade para relacionar x e y:
(x + 35)^2 + (y - 25)^2 = 1

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
(x + 3)^225 + (y - 2)^225 = 1
Como os denominadores são iguais, podemos combinar os termos:
(x + 3)^2 + (y - 2)^225 = 1
Multiplicando ambos os lados por 25:
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25

Passo 6

Pronto! Essa é a equação cartesiana reduzida da curva. Vamos analisar que tipo de curva é essa. A forma geral da equação de um círculo é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro e r é o raio.
Comparando com a nossa equação:
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25
Podemos ver que:
  • Centro: (-3, 2)
  • Raio: raiz25 = 5

Resposta

A equação cartesiana reduzida é (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25, e a curva é um círculo com centro em (-3, 2) e raio 5.

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