Para quais valor(es) de lambda o sistema linear l(lambda-3) x+y=0 x+(lambda-3) y=0 tem soluções não triviais?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo
(lambda - 3)x + y = 0, x + (lambda - 3)y = 0,
que envolve duas equações lineares em x e y. Vamos usar o critério de existência de solução não trivial para sistemas homogêneos: o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = lambda - 3 & 1 1 & lambda - 3
Para que existam soluções não triviais, é necessário
det(A)=0

Passo 3

Calculando o determinante, temos
det(A) = (lambda - 3)(lambda - 3) - 1cdot1 = (lambda - 3)^2 - 1
Impondo det(A)=0, obtemos
(lambda - 3)^2 - 1 = 0 Longrightarrow (lambda - 3)^2 = 1 Longrightarrow lambda - 3 = pm 1
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lambda = 3 pm 1,
isto é,
lambda = 2oulambda = 4

Resposta

lambda = 2 ou lambda = 4

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