Mostre que toda bola aberta é um conjunto aberto.
Passo 1
Estamos em um espaço métrico
e consideramos a bola aberta centrada em
de raio
definida por
Queremos mostrar que
é um conjunto aberto, isto é, que para todo
existe
tal que
Usaremos a definição de conjunto aberto e a desigualdade triangular.
Passo 2
Seja
um ponto em
. Então por definição temos
Definimos
que é estritamente positivo porque
. Essa será a “margem” para construir uma bola centrada em
.
Passo 3
Tomemos um ponto arbitrário
. Então
. Aplicando a desigualdade triangular
Logo
, ou seja,
. Como
era arbitrário em
, concluímos
Passo 4
Mostramos que para cada
existe
(especificamente
) tal que
. Pela definição de conjunto aberto em espaço métrico, isso prova que
é aberto.
Resposta
A bola aberta
é um conjunto aberto em qualquer espaço métrico.