Mostre que toda bola aberta é um conjunto aberto.

Passo 1

Estamos em um espaço métrico (X,d) e consideramos a bola aberta centrada em p de raio r>0 definida por
B(p;r)=xin Xmid d(x,p)<r
Queremos mostrar que B(p;r) é um conjunto aberto, isto é, que para todo xin B(p;r) existe varepsilon>0 tal que
B(x;varepsilon)subseteq B(p;r)
Usaremos a definição de conjunto aberto e a desigualdade triangular.

Passo 2

Seja x um ponto em B(p;r). Então por definição temos
d(x,p)<r
Definimos
varepsilon=r-d(x,p),
que é estritamente positivo porque d(x,p)<r. Essa será a “margem” para construir uma bola centrada em x.

Passo 3

Tomemos um ponto arbitrário yin B(x;varepsilon). Então d(y,x)<varepsilon. Aplicando a desigualdade triangular
d(y,p)<= d(y,x)+d(x,p)<varepsilon + d(x,p)=l(r-d(x,p)r)+d(x,p)=r
Logo d(y,p)<r, ou seja, yin B(p;r). Como y era arbitrário em B(x;varepsilon), concluímos
B(x;varepsilon)subseteq B(p;r)

Passo 4

Mostramos que para cada xin B(p;r) existe varepsilon>0 (especificamente varepsilon=r-d(x,p)) tal que B(x;varepsilon)subseteq B(p;r). Pela definição de conjunto aberto em espaço métrico, isso prova que B(p;r) é aberto.

Resposta

A bola aberta B(p;r) é um conjunto aberto em qualquer espaço métrico.

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