Sendo z=f(x, y) dada implicitamente por x^2+y^2+z^2=1, z>0, calcule:
(a) partial zpartial x;
(b) partial zpartial y.

Passo 1

O enunciado define z=f(x,y) pela equação implícita
x^2+y^2+z^2=1, z>0
e pede as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y. Vamos usar diferenciação implícita em cada caso.

Passo 2

Diferenciando
x^2+y^2+z^2=1
em relação a x, tratando y como constante e z=z(x,y), obtemos
2x + 0 + 2z,partial zpartial x = 0

Passo 3

Isolando partial z/partial x na equação acima:
2z,partial zpartial x = -2x Longrightarrow partial zpartial x = -xz
Como z>0 e da própria equação implícita segue z=raiz1 - x^2-y^2, temos
partial zpartial x = -xraiz1 - x^2 - y^2

Passo 4

Agora diferenciamos
x^2+y^2+z^2=1
em relação a y, tratando x como constante:
0 + 2y + 2z,partial zpartial y = 0

Passo 5

Isolando partial z/partial y:
2z,partial zpartial y = -2y Longrightarrow partial zpartial y = -yz
Substituindo z=raiz1 - x^2-y^2, concluímos
partial zpartial y = -yraiz1 - x^2 - y^2

Resposta

a) partial zpartial x = -xraiz1 - x^2 - y^2
b) partial zpartial y = -yraiz1 - x^2 - y^2

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