As curvas de nível das superfícies z = -x² + y são
Escolha uma:
a. Circunferências.
b. Elipses.
c. Retas.
d. Senoidais.
e. Parábolas.
Escolha uma:
a. Circunferências.
b. Elipses.
c. Retas.
d. Senoidais.
e. Parábolas.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação de uma superfície dada por $ z = -x^2 + y $ e precisa determinar quais são as curvas de nível dessa superfície. No nosso estudo, vamos usar o conceito de curvas de nível, que são as interações das superfícies com planos horizontais, e precisaremos entender um pouco de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são as curvas formadas quando a superfície é cortada por planos horizontais $ z = c $, onde $ c $ é uma constante. Assim, para encontrar as curvas de nível de $ z = -x^2 + y $, vamos substituir $ z $ por $ c $:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação da curva:
Isso mostra que, para cada valor de $ c $, a equação representa uma parábola no plano $ xy $, já que temos $ y $ em função de $ x^2 $.
Passo 4
Sabemos que cada curva de nível é uma parábola, pois a equação está na forma $ y = ax^2 + b $, que é a forma padrão de uma parábola com vértice no ponto onde a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é zero.
Resposta
e. Parábolas.