Curvas pametrizadas Sejam as descrições possíveis de curvas planas arbitrárias:
Parametrização: l x=x(t) y=y(t) t in I subset R Vínculo: Phi(x, y)=0 çãí
Exemplo: circunferência de raio R:
Parametrização: l x=R cos t y=R sen t t in[0,2 pi] Vínculo: x^2+y^2-R^2=0 çãí

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está falando. A gente está falando sobre curvas parametrizadas, que basicamente são maneiras de descrever curvas no plano usando uma variável, geralmente chamada de t . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizei uma curva e como relacionar isso com uma equação que descreve a curva de forma mais tradicional, chamada de equação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Quando temos uma curva no plano, podemos descrevê-la usando duas funções separadas para [x) e que dependem de um parâmetro . Por exemplo, na circunferência, usamos:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência.

Passo 3

Agora, vamos ver como essa parametrização está ligada à equação implícita da circunferência. A equação implícita é:
x^2 + y^2 - R^2 = 0
Isso significa que qualquer ponto (x, y) que satisfaz essa equação está na circunferência de raio R .

Passo 4

Para entender como passar da parametrização para a equação implícita, a gente pode substituir as expressões de x e y da parametrização na equação implícita e ver se a igualdade se mantém.
Pegando:
x = R cos t y = R sin t
Substituindo na equação implícita:
(R cos t)^2 + (R sin t)^2 - R^2 = 0 R^2 cos^2 t + R^2 sin^2 t - R^2 = 0 R^2 (cos^2 t + sin^2 t) - R^2 = 0
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1 , então:
R^2 (1) - R^2 = 0 0 = 0
Isso confirma que a parametrização realmente descreve a circunferência da equação implícita dada.

Passo 5

Vamos aplicar isso a uma curva geral. Suponha que temos uma parametrização:
x = x(t) y = y(t) t in I subset R
E uma equação implícita:
Phi(x, y) = 0
Para verificar se a parametrização realmente descreve a curva definida por Phi(x, y) = 0 , substituímos x(t) e y(t) na equação implícita:
Phi(x(t), y(t)) = 0
Se essa igualdade for verdadeira para todo t no intervalo I , então a parametrização está correta.

Resposta

A parametrização dada para a circunferência, ao ser substituída na equação implícita x^2 + y^2 - R^2 = 0 , satisfaz a igualdade para todo t in [0, 2pi] . Portanto, a parametrização x = R cos t e y = R sin t descreve perfeitamente a circunferência de raio R .

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