Curvas pametrizadas Sejam as descrições possíveis de curvas planas arbitrárias:
Exemplo: circunferência de raio
:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está falando. A gente está falando sobre curvas parametrizadas, que basicamente são maneiras de descrever curvas no plano usando uma variável, geralmente chamada de
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizei uma curva e como relacionar isso com uma equação que descreve a curva de forma mais tradicional, chamada de equação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Quando temos uma curva no plano, podemos descrevê-la usando duas funções separadas para [x) e
que dependem de um parâmetro
. Por exemplo, na circunferência, usamos:
Aqui, varia de
a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 3
Agora, vamos ver como essa parametrização está ligada à equação implícita da circunferência. A equação implícita é:
Isso significa que qualquer ponto
que satisfaz essa equação está na circunferência de raio
.
Passo 4
Para entender como passar da parametrização para a equação implícita, a gente pode substituir as expressões de
e
da parametrização na equação implícita e ver se a igualdade se mantém.
Pegando:
Substituindo na equação implícita:
Sabemos que
, então:
Isso confirma que a parametrização realmente descreve a circunferência da equação implícita dada.
Passo 5
Vamos aplicar isso a uma curva geral. Suponha que temos uma parametrização:
E uma equação implícita:
Para verificar se a parametrização realmente descreve a curva definida por
, substituímos
e
na equação implícita:
Se essa igualdade for verdadeira para todo
no intervalo
, então a parametrização está correta.
Resposta
A parametrização dada para a circunferência, ao ser substituída na equação implícita
, satisfaz a igualdade para todo
. Portanto, a parametrização
e
descreve perfeitamente a circunferência de raio
.