Integrais trigonométricas Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral trigonométrica
. Isso envolve integrar uma função que tem potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que
. Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso nos dá duas integrais separadas que podemos resolver individualmente.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, a integral de
. Para isso, podemos usar a substituição onde
, então
. Precisamos manipular a expressão para se adequar a essa substituição:
Então, a integral fica:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, vamos integrar
usando a mesma técnica. Primeiro, reescrevemos:
Usando
e
, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, juntamos as duas partes que integramos:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, ficando:
Resposta
A integral
é igual a: