Integrais trigonométricas Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral sen^3 x cos ^2 x d x

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral trigonométrica integral sin^3 x cos^2 x , dx. Isso envolve integrar uma função que tem potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que cos^2 x = 1 - sin^2 x. Então, podemos reescrever a integral assim:
integral sin^3 x (1 - sin^2 x) , dx

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral (sin^3 x - sin^5 x) , dx
Isso nos dá duas integrais separadas que podemos resolver individualmente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, a integral de sin^3 x , dx. Para isso, podemos usar a substituição onde u = cos x, então du = -sin x , dx. Precisamos manipular a expressão para se adequar a essa substituição:
sin^3 x = sin^2 x cdot sin x = (1 - cos^2 x) cdot sin x
Então, a integral fica:
integral (1 - u^2) (-du) = -integral (1 - u^2) , du
Integrando:
- ( u - u^33 ) + C = -u + u^33 + C
Voltando para x:
- cos x + cos^3 x3 + C

Passo 5

Agora, vamos integrar sin^5 x , dx usando a mesma técnica. Primeiro, reescrevemos:
sin^5 x = sin^4 x cdot sin x = (1 - cos^2 x)^2 cdot sin x
Usando u = cos x e du = -sin x , dx, a integral fica:
integral (1 - u^2)^2 (-du) = -integral (1 - 2u^2 + u^4) , du
Integrando termo a termo:
- ( u - 2u^33 + u^55 ) + C = -u + 2u^33 - u^55 + C
Voltando para x:
- cos x + 2cos^3 x3 - cos^5 x5 + C

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
integral sin^3 x cos^2 x , dx = ( -cos x + cos^3 x3 ) - ( -cos x + 2cos^3 x3 - cos^5 x5 ) + C
Simplificando:
-cos x + cos^3 x3 + cos x - 2cos^3 x3 + cos^5 x5 + C
Os termos -cos x e +cos x se cancelam, ficando:
- cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

Resposta

A integral integral sin^3 x cos^2 x , dx é igual a:
- cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

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