Curvas pametrizadas Sejam as descrições possíveis de curvas planas arbitrárias:
Parametrização: l x=x(t) y=y(t) t in I subset R Vínculo: Phi(x, y)=0 çãí
Exemplo: circunferência de raio R :
Parametrização: l x=R cos t y=R sen t t in[0,2 pi] Vínculo: x^2+y^2-R^2=0 çãí
Determinar o vínculo entre x e y e derivada de y em termos da variável x e do parâmetro t:
lx=a cos ^3 t y=a sen^3 t, t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada por
x = acos^3 t, y = asin^3 t, tin[0,2pi]
e pede (i) o vínculo implícito entre x e y (i.e.\ eliminar o parâmetro) e (ii) a derivada dfracdydx em função de t.

Passo 2

Para obter o vínculo, dividimos cada expressão por a e elevamos à potência 2/3:
l(xar)^2/3 = cos^2 t, l(yar)^2/3 = sen^2 t
Somando as duas igualdades e usando cos^2 t + sen^2 t = 1, segue
l(xar)^2/3 ;+;l(yar)^2/3 ;=;1

Passo 3

Para a derivada tfracdydx via parâmetro, calculamos primeiro
dxdt = acdot3cos^2 tcdot(-sen t) = -3a,cos^2 t,sen t,
dydt = acdot3sen^2 tcdotcos t = 3a,sen^2 t,cos t
Então
dydx = dydtdxdt = 3a,sen^2 t,cos t-3a,cos^2 t,sen t = -sen^2 t,cos tcos^2 t,sen t = -tan t

Resposta

Vínculo implícito:
l(xar)^2/3 + l(yar)^2/3 = 1
Derivada da curva:
dydx = -tan t

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