Curvas pametrizadas Sejam as descrições possíveis de curvas planas arbitrárias:
Parametrização: l x=x(t) y=y(t) t in I subset R Vínculo: Phi(x, y)=0 çãí
Exemplo: circunferência de raio R :
Parametrização: l x=R cos t y=R sen t t in[0,2 pi] Vínculo: x^2+y^2-R^2=0 çãí
Determinar o vínculo entre x e y e derivada de y em termos da variável x e do parâmetro t:
lx=t^2 y=t^3, t in[0, infty).

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada por
x = t^2, y = t^3, tin[0,infty)
e pede dois itens:
  1. o vínculo (relação implícita) entre x e y, ou seja, eliminar t;
  2. a derivada dydx expressa primeiro em função de t e depois em função de x.

Passo 2

Para achar o vínculo, isolamos t em ;x = t^2. Como t>=0, temos
t = raizx
Substituindo em y = t^3
y = l(raizxr)^3 = x^3/2
Opcionalmente podemos escrever a forma equivalente
y^2 = x^3

Passo 3

Para calcular dydx em termos de t, usamos a regra da cadeia para curvas parametrizadas:
dydx = dydtdxdt
Como dxdt = 2t e dydt = 3t^2, temos
dydx = 3t^22t = 32,t

Passo 4

Finalmente, para expressar dydx em função de x, substituímos t = raizx no resultado anterior:
dydx = 32,raizx = 32,x^1/2

Resposta

Vínculo: y = x^3/2 (ou ;y^2 = x^3).
Derivada em função de t: dydx = 32,t.
Derivada em função de x: dydx = 32,x^1/2.

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