Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.
y^prime prime-y=0 ; y1(t)=e^t e y2(t)=cosh (t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se as funções y1(t) = e^t e y2(t) = cosh(t) são soluções da equação diferencial y'' - y = 0 . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, mais especificamente às soluções de equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na equação para ver se iguala a zero.

Passo 2

Vamos começar verificando se y1(t) = e^t é uma solução da equação diferencial y'' - y = 0 .
Primeiro, calculamos a primeira derivada de y1(t) :
y1'(t) = ddt e^t = e^t
Agora, calculamos a segunda derivada:
y1''(t) = ddt y1'(t) = ddt e^t = e^t
Substituímos y1(t) e y1''(t) na equação diferencial:
y1''(t) - y1(t) = e^t - e^t = 0
Como a equação se iguala a zero, isso confirma que y1(t) = e^t é uma solução da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se y2(t) = cosh(t) também é uma solução da mesma equação diferencial y'' - y = 0 .
Primeiro, lembramos que a função hiperbólica cosseno é definida por:
cosh(t) = e^t + e^-t2
Calculamos a primeira derivada de y2(t) :
y2'(t) = ddt cosh(t) = sinh(t)
onde sinh(t) = e^t - e^-t2 .
Agora, calculamos a segunda derivada:
y2''(t) = ddt y2'(t) = ddt sinh(t) = cosh(t)
Substituímos y2(t) e y2''(t) na equação diferencial:
y2''(t) - y2(t) = cosh(t) - cosh(t) = 0
Como a equação também se iguala a zero, isso confirma que y2(t) = cosh(t) é uma solução da equação diferencial.

Resposta

Ambas as funções y1(t)=e^t e y2(t)=cosh(t) são soluções da equação diferencial y'' - y = 0 .

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