Curvas pametrizadas Sejam as descrições possíveis de curvas planas arbitrárias:
Parametrização: l x=x(t) y=y(t) t in I subset R Vínculo: Phi(x, y)=0 çãí
Exemplo: circunferência de raio R :
Parametrização: l x=R cos t y=R sen t t in[0,2 pi] Vínculo: x^2+y^2-R^2=0 çãí
Determinar o vínculo entre x e y e derivada de y em termos da variável x e do parâmetro t:
lx=a ch t y=a sh t, t in(-infty, infty).
Sendo as funções cosseno e seno hiperbólicos: ch t=12(e^t+e^-t) sh t=12(e^t-e^-t)
Adicionalmente, mostrar que ch^2 t-sh^2 t=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
x = a,cht, y = a,sht, tin(-infty,infty),
onde cht e sht são as funções hiperbólicas. Precisamos:
  1. Encontrar o vínculo Phi(x,y)=0 eliminando o parâmetro t.
  2. Calcular dfracdydx em termos de t e, se for o caso, em termos de x.
  3. Mostrar que ch^2t-sh^2t=1.

Passo 2

Para eliminar t, isolamos
cht=xa, sht=ya
Como sabemos (e vamos comprovar no Passo 5) que
ch^2t-sh^2t=1,
substituindo temos
l(xar)^2-l(yar)^2=1 ;;Longrightarrow;; x^2-y^2=a^2
Logo, o vínculo é
Phi(x,y)=x^2-y^2-a^2=0

Passo 3

Para obter dfracdydx no esquema paramétrico, usamos
dxdt = a,ddt(cht) = a,sht, dydt = a,ddt(sht) = a,cht
Então
dydx =dydtdxdt =a,chta,sht =chtsht =coth t

Passo 4

Podemos também expressar coth t em termos de x. Como cht=tfracxa e
sht=raizch^2t-1=raizl(tfracxar)^2-1=tfracraizx^2-a^2a,
temos
dydx =coth t =xaraizx^2-a^2a =xraizx^2-a^2

Passo 5

Para comprovar a identidade hiperbólica, use as definições
cht=e^t+e^-t2, sht=e^t-e^-t2
Então
ch^2t-sh^2t =l(e^t+e^-t2r)^2 -l(e^t-e^-t2r)^2 =e^2t+2+e^-2t-(e^2t-2+e^-2t)4 =1

Resposta

O vínculo é
x^2-y^2=a^2
A derivada é
dydx=coth t ou dydx=xraizx^2-a^2
E confirma-se que
ch^2t-sh^2t=1

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