Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quanto t aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=sinh t, y=cosh t

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas
x=sinh t, y=cosh t,
e pede (a) esboçar a curva marcando pontos e indicando a seta de direção para t crescente e (b) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana.

Passo 2

Para entender a forma e o sentido do traçado, calculamos alguns pontos chave:
  • Em t=0: x=sinh0=0, y=cosh0=1 ponto (0,1).
  • Em t=1: x=sinh1approx1,175, y=cosh1approx1,543
  • Em t=-1: x=sinh(-1)approx-1,175, y=cosh(-1)approx1,543
À medida que tto+infty, temos xto+infty e yto+infty; para tto-infty, xto-infty e yto+infty. O traçado começa de (-infty,infty), desce até (0,1) em t=0 e sobe para (+infty,infty).

Passo 3

No esboço, a curva é o ramo superior da hipérbole, com vértice em (0,1). Marcamos os pontos (-1,175,1,543), (0,1) e (1,175,1,543). Desenhamos uma seta que vai da esquerda para a direita passando por (0,1), pois conforme t cresce o ponto anda nesse sentido.

Passo 4

Para eliminar o parâmetro, usamos a identidade hiperbólica
cosh^2 t - sinh^2 t = 1
Substituindo x=sinh t e y=cosh t, obtemos
y^2 - x^2 = 1

Resposta

A curva é o ramo superior da hipérbole
y^2 - x^2 = 1,
com vértice em (0,1) e traçada da esquerda para a direita conforme t aumenta.

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