Curvas pametrizadas Sejam as descrições possíveis de curvas planas arbitrárias:
Parametrização: l x=x(t) y=y(t) t in I subset R Vínculo: Phi(x, y)=0 çãí
Exemplo: circunferência de raio R :
Parametrização: l x=R cos t y=R sen t t in[0,2 pi] Vínculo: x^2+y^2-R^2=0 çãí
Determinar o vínculo entre x e y e derivada de y em termos da variável x e do parâmetro t:
lx=sen t y=sen(2 t), t in[0,2 pi]

Passo 1

Temos a curva parametrizada
x=sin t, y=sin(2t) tin[0,2pi]
A tarefa é (i) eliminar t para obter o vínculo implícito Phi(x,y)=0 e (ii) calcular a derivada dfracdydx em função de t (e, se for o caso, de x).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
sin(2t)=2sin tcos t
Como sin t=x, temos
y=sin(2t)=2xcos t
Elevando ao quadrado:
y^2=4x^2cos^2 t=4x^2l(1-sin^2 tr)=4x^2(1-x^2)
Logo o vínculo implícito é
y^2-4x^2(1-x^2)=0

Passo 3

Para a derivada, calculamos
dxdt=cos t, dydt=2cos(2t)
Pela regra da cadeia,
dydx =tfracdydttfracdxdt =2cos(2t)cos t
Se quisermos envolver também x, note que cos(2t)=1-2sin^2 t=1-2x^2, de modo que
dydx =2l(1-2x^2r)cos t

Resposta

Vínculo implícito:
y^2=4x^2(1-x^2)
Derivada:
dydx=2cos(2t)cos t (ou, usando (x),;2(1-2x^2)cos t)

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