Curvas pametrizadas Sejam as descrições possíveis de curvas planas arbitrárias:
Parametrização: l x=x(t) y=y(t) t in I subset R Vínculo: Phi(x, y)=0 çãí
Exemplo: circunferência de raio R :
Parametrização: l x=R cos t y=R sen t t in[0,2 pi] Vínculo: x^2+y^2-R^2=0 çãí
Determinar o vínculo entre x e y e derivada de y em termos da variável x e do parâmetro t:
lx=cos t y=cos (2 t), t in[0,2 pi] .

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
x = cos t, y = cos(2t), tin[0,2pi],
e pede (a) o vínculo entre x e y e (b) a derivada dfracdydx em termos de x e do parâmetro t. Vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo duplo e, em seguida, a regra da cadeia para derivadas paramétricas.

Passo 2

Usamos a identidade
cos(2t) = 2cos^2 t - 1
Como x=cos t, substituímos para obter
y = 2x^2 - 1
Logo, o vínculo implícito é
Phi(x,y) = y - 2x^2 + 1 = 0

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas em relação a t:
dxdt = -sin t, dydt = -2sin(2t)
Pela regra da cadeia para curvas paramétricas,
dydx = dydtdxdt = -2sin(2t)-sin t =2,sin(2t)sin t
Mas sin(2t)=2sin tcos t, então
dydx =2cdot2sin tcos tsin t =4cos t =4x

Resposta

Vínculo: ;y-2x^2+1=0
Derivada: ;dfracdydx=4x

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