Resolva as integrais indefinidas:
integral x * cos (4 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral x cdot cos(4x) , dx . Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente a técnica de integração por partes. Precisaremos identificar duas partes da função para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes u e dv na nossa integral. Escolhemos:
u = x e dv = cos(4x) , dx
Escolhemos u = x porque sua derivada será mais simples, e dv = cos(4x) , dx porque podemos integrar facilmente essa parte.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v . Fazemos isso derivando u e integrando dv :
du = ddx(x) , dx = 1 cdot dx
v = integral cos(4x) , dx = sin(4x)4
Integrar cos(4x) nos dá sin(4x)4 porque a integral de cos(kx) é sin(kx)k .

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot cos(4x) , dx = x cdot sin(4x)4 - integral sin(4x)4 cdot 1 , dx

Passo 5

Agora, resolvemos a nova integral integral sin(4x)4 , dx :
integral sin(4x)4 , dx = 14 cdot ( -cos(4x)4 ) = -cos(4x)16
Então, substituímos de volta na expressão original:
integral x cdot cos(4x) , dx = x cdot sin(4x)4 + cos(4x)16 + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral x cdot cos(4x) , dx = x cdot sin(4x)4 + cos(4x)16 + C

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