Esboçe o gráfico da função f(x) tal que f(x)=cos x para -2 <= x <= 2 e f(x)=f(x+4) para todo x in R.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 4 cujo “molde” em um período é dado por
f(x)=cos x, -2<= x<=2,
e estende esse mesmo trecho para todo x via
f(x+4)=f(x)
O conteúdo envolve compreensão do gráfico de cos x num trecho centrado em 0 e aplicação de periodicidade.

Passo 2

Primeiro vamos esboçar y=cos x para -2<= x<=2.
  1. Em x=-2 e x=2 temos
f(-2)=cos(-2)=cos2approx -0,416, f(2)=cos2approx -0,416
  1. No meio, em x=0, o valor é
f(0)=cos0=1,
e a curva é contínua e suave, chegando ao máximo 1 em x=0 e caindo simetricamente até -0,416 nas extremidades.

Passo 3

Como o período é 4, basta pegar esse mesmo “arco” de curva entre -2 e 2 e copiá-lo inteira e indefinidamente, deslocado de 4 unidades. Ou seja, para cada inteiro k temos no intervalo
[-2+4k,;2+4k]
o mesmo formato de y=cos x que desenhamos originalmente.

Passo 4

O esboço final consiste em:
– Um pico em cada ponto x=4k (pois quando -2+4k<= x<=2+4k e x=4k entra no centro do período, onde cos0=1).
– Dois pontos iguais de valor cos2approx-0,416 nas bordas de cada período, isto é em x=2+4k e x=-2+4k.
– Arco suave de cosseno ligando esses pontos.
Em consequência, visualmente teremos uma onda de cosseno “cortada” exatamente entre -2 e 2 e repetida a cada 4 unidades.

Resposta

O gráfico de f é o padrão de “meio ciclo” de cos x de -2 a 2, com valor máximo 1 em x=4k e valor cos2approx-0,416 em x=2+4k e x=-2+4k, repetido para todo kinZ a cada 4 unidades.

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