Curvas Parametrizadas. Comprimento de arco.
Mostre que as retas tangente à curva parametrizada regular ( isto é, cujo vetor tangente é não nulo)
fazem um ângulo constante com a reta
.
Mostre que as retas tangente à curva parametrizada regular ( isto é, cujo vetor tangente é não nulo)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Curvas Parametrizadas e Comprimento de Arco. A gente precisa mostrar que as retas tangentes à curva parametrizada regular
fazem um ângulo constante com a reta definida por
e
. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores tangentes e cálculo de ângulos entre vetores usando produtos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva
. O vetor tangente é dado pela derivada da função vetor
em relação a
.
Então, derivando cada componente de
:
Então, o vetor tangente é
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar o vetor diretor da reta
,
. Vamos parametrizar essa reta para facilitar.
Podemos escrever a reta como:
O vetor diretor dessa reta é o vetor que multiplica o parâmetro
, ou seja,
.
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre o vetor tangente
e o vetor diretor
da reta
,
, usamos a fórmula do produto interno:
Onde:
-
é o produto interno dos dois vetores. -
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto interno
:
Passo 6
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo os valores encontrados na fórmula do ângulo:
Vamos simplificar o denominador:
Então:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz no denominador:
Portanto:
(Também podemos notar que
é sempre positivo, então não precisamos do valor absoluto.)
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do cosseno:
Resposta
Portanto, o ângulo entre as retas tangentes à curva
e a reta
,
é constante e igual a
, ou seja,
.