Curvas Parametrizadas. Comprimento de arco.
Mostre que as retas tangente à curva parametrizada regular ( isto é, cujo vetor tangente é não nulo) alpha(t)=(3 t, 3 t^2, 2 t^3) fazem um ângulo constante com a reta y=0, z=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Curvas Parametrizadas e Comprimento de Arco. A gente precisa mostrar que as retas tangentes à curva parametrizada regular alpha(t) = (3t, 3t^2, 2t^3) fazem um ângulo constante com a reta definida por y=0 e z=x. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores tangentes e cálculo de ângulos entre vetores usando produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva alpha(t). O vetor tangente é dado pela derivada da função vetor alpha(t) em relação a t.
Então, derivando cada componente de alpha(t):
alpha'(t) = ( ddt(3t), ddt(3t^2), ddt(2t^3) ) = (3, 6t, 6t^2)
Então, o vetor tangente é alpha'(t) = (3, 6t, 6t^2).

Passo 3

Agora, precisamos identificar o vetor diretor da reta y=0, z=x. Vamos parametrizar essa reta para facilitar.
Podemos escrever a reta como:
r(s) = (s, 0, s) onde s é o parâmetro éâ
O vetor diretor dessa reta é o vetor que multiplica o parâmetro s, ou seja, v = (1, 0, 1).

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre o vetor tangente alpha'(t) e o vetor diretor v da reta y=0, z=x, usamos a fórmula do produto interno:
costheta = alpha'(t) cdot v |alpha'(t)| , |v|
Onde:
  • alpha'(t) cdot v é o produto interno dos dois vetores.
  • |alpha'(t)| e |v| são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto interno alpha'(t) cdot v:
alpha'(t) cdot v = (3)(1) + (6t)(0) + (6t^2)(1) = 3 + 0 + 6t^2 = 3 + 6t^2

Passo 6

Agora, calculamos as normas dos vetores:
Para alpha'(t):
|alpha'(t)| = raiz3^2 + (6t)^2 + (6t^2)^2 = raiz9 + 36t^2 + 36t^4 = raiz9 + 36t^2 + 36t^4
Para v:
|v| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2

Passo 7

Substituindo os valores encontrados na fórmula do ângulo:
costheta = 3 + 6t^2 raiz9 + 36t^2 + 36t^4 cdot raiz2
Vamos simplificar o denominador:
raiz9 + 36t^2 + 36t^4 = raiz9(1 + 4t^2 + 4t^4) = 3raiz1 + 4t^2 + 4t^4
Então:
costheta = 3 + 6t^2 3raiz1 + 4t^2 + 4t^4 cdot raiz2 = 3 + 6t^2 3raiz2 raiz1 + 4t^2 + 4t^4 = 1 + 2t^2 raiz2 raiz1 + 4t^2 + 4t^4

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz no denominador:
1 + 4t^2 + 4t^4 = (2t^2)^2 + 4t^2 + 1 = (2t^2 + 1)^2
Portanto:
raiz1 + 4t^2 + 4t^4 = raiz(2t^2 + 1)^2 = |2t^2 + 1| = 2t^2 + 1
(Também podemos notar que 2t^2 + 1 é sempre positivo, então não precisamos do valor absoluto.)

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do cosseno:
costheta = 1 + 2t^2 raiz2 (2t^2 + 1) = 1 + 2t^2 raiz2 (1 + 2t^2) = 1raiz2

Resposta

Portanto, o ângulo entre as retas tangentes à curva alpha(t) = (3t, 3t^2, 2t^3) e a reta y=0, z=x é constante e igual a theta = arccos( 1raiz2 ), ou seja, theta = 45^circ.

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