Prove Subwefluefve - Catcuto Diforencial e Integral 3
23.5.58.70
(2,0) Seja gamma a curva x^24+(y-1)^2=1, x >= 0, percorrida de (0,2) a (0,0). Calcule integralgamma((e^x)^2+x ln (1+y^2)) d x+(y x^21+y^2+2 y+x) d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgamma P , dx + Q , dy
once
P(x,y) = e^2x + x lnl(1 + y^2r), Q(x,y) = x^2 y1 + y^2 + 2 y + x,
e gamma é a semi-elipse x^24 + (y - 1)^2 = 1 com x >= 0, indo de (0,2) a (0,0).

Passo 2

Verificamos
partial Qpartial x = partialpartial xl(x^2y1+y^2+2y+xr) = 2xy1+y^2+1,
partial Ppartial y = partialpartial yl(e^2x+xln(1+y^2)r) = xcdot2y1+y^2 =2xy1+y^2
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =1

Passo 3

Se fecharmos o traçado unindo (0,0) a (0,2) pelo segmento L em x=0, obtemos um contorno fechado partial D do domínio D (a meia-elipse). Pelo Teorema de Green, para orientação anti-horária
ointpartial D P , dx + Q , dy = integral duplaD l( partial Qpartial x - partial Ppartial y r) dA = integral duplaD 1 , dA = Área(D) Á

Passo 4

A área da elipse inteira de semieixos a=2, b=1 é pi ab=2pi. Como D é metade,
Área(D)=pi Á

Passo 5

Na aresta Lcolon(0,2)to(0,0) temos dx=0 e
P(0,y)=e^0+0=1, Q(0,y)=01+y^2+2y+0=2y
Assim
integralLP,dx+Q,dy =integraly=2^y=02y,dy =l[y^2r]2^0 =0-4=-4

Passo 6

Denotando gamma o arco da elipse de (0,2) a (0,0), a orientação anti-horária de partial D é: primeiro L de (0,2) a (0,0), depois o arco -gamma de (0,0) a (0,2). Logo
ointpartial D P , dx + Q , dy = integralL P , dx + Q , dy + integral-gamma P , dx + Q , dy = -4 - integralgamma P , dx + Q , dy = pi
Daí
-integralgamma P , dx + Q , dy = pi + 4 Longrightarrow integralgamma P , dx + Q , dy = -l(pi + 4r)

Resposta

integralgammal(e^2x+xln(1+y^2)r)dx +l(x^2y1+y^2+2y+xr)dy =-l(pi+4r)

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