Determine o vetor posição de uma partícula dada que sua aceleração é a(t)=t i+t^2 j+cos (2 t) k, sua velocidade incial é v(0)=i+k e sua posição inicial é r(0)=j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o vetor posição de uma partícula, ou seja, como ela se move no espaço ao longo do tempo. Para isso, temos a aceleração da partícula, que é dada por:
a(t) = t i + t^2 j + cos(2t) k
Também nos fornecem a velocidade inicial v(0) = i + k e a posição inicial r(0) = j. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e integração de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade v(t), precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
v(t) = integral a(t) , dt + C1
Onde C1 é a constante de integração que vamos determinar usando a velocidade inicial.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente:
  1. Componente i:
integral t , dt = 12 t^2 + C1x
  1. Componente j:
integral t^2 , dt = 13 t^3 + C1y
  1. Componente k:
integral cos(2t) , dt = 12 sin(2t) + C1z
Então, a velocidade fica:
v(t) = ( 12 t^2 + C1x ) i + ( 13 t^3 + C1y ) j + ( 12 sin(2t) + C1z ) k

Passo 4

Agora, usamos a velocidade inicial para encontrar as constantes de integração C1x, C1y e C1z. Sabemos que v(0) = i + k.
Substituindo t = 0 na expressão de v(t):
v(0) = ( 12 cdot 0^2 + C1x ) i + ( 13 cdot 0^3 + C1y ) j + ( 12 sin(0) + C1z ) k
Isso simplifica para:
v(0) = C1x i + C1y j + C1z k
Comparando com v(0) = i + k, temos:
C1x = 1 C1y = 0 C1z = 1

Passo 5

Agora que temos as constantes, podemos escrever a expressão completa para a velocidade:
v(t) = ( 12 t^2 + 1 ) i + ( 13 t^3 ) j + ( 12 sin(2t) + 1 ) k

Passo 6

Vamos agora encontrar a posição r(t) integrando a velocidade em relação ao tempo:
r(t) = integral v(t) , dt + C2
Onde C2 é a constante de integração que vamos determinar usando a posição inicial.

Passo 7

Integrando cada componente da velocidade:
  1. Componente i:
integral ( 12 t^2 + 1 ) dt = 16 t^3 + t + C2x
  1. Componente j:
integral 13 t^3 , dt = 112 t^4 + C2y
  1. Componente k:
integral ( 12 sin(2t) + 1 ) dt = -14 cos(2t) + t + C2z
Então, a posição fica:
r(t) = ( 16 t^3 + t + C2x ) i + ( 112 t^4 + C2y ) j + ( -14 cos(2t) + t + C2z ) k

Passo 8

Agora, usamos a posição inicial para encontrar as constantes de integração C2x, C2y e C2z. Sabemos que r(0) = j.
Substituindo t = 0 na expressão de r(t):
r(0) = ( 16 cdot 0^3 + 0 + C2x ) i + ( 112 cdot 0^4 + C2y ) j + ( -14 cos(0) + 0 + C2z ) k
Isso simplifica para:
r(0) = C2x i + C2y j + ( -14 + C2z ) k
Comparando com r(0) = j, temos:
C2x = 0 C2y = 1 -14 + C2z = 0 Rightarrow C2z = 14

Passo 9

Agora que temos todas as constantes, podemos escrever a expressão final para a posição r(t):
r(t) = ( 16 t^3 + t ) i + ( 112 t^4 + 1 ) j + ( -14 cos(2t) + t + 14 ) k

Resposta

O vetor posição da partícula é:
r(t) = ( 16 t^3 + t ) i + ( 112 t^4 + 1 ) j + ( t - 14 cos(2t) + 14 ) k

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