Determine o vetor posição de uma partícula dada que sua aceleração é
, sua velocidade incial é
e sua posição inicial é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o vetor posição de uma partícula, ou seja, como ela se move no espaço ao longo do tempo. Para isso, temos a aceleração da partícula, que é dada por:
Também nos fornecem a velocidade inicial
e a posição inicial
. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e integração de vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a velocidade inicial.
Passo 3
Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora, usamos a velocidade inicial para encontrar as constantes de integração
,
e
. Sabemos que
.
Substituindo
na expressão de
:
Isso simplifica para:
Comparando com
, temos:
Passo 5
Agora que temos as constantes, podemos escrever a expressão completa para a velocidade:
Passo 6
Vamos agora encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a posição inicial.
Passo 7
Integrando cada componente da velocidade:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, a posição fica:
Passo 8
Agora, usamos a posição inicial para encontrar as constantes de integração
,
e
. Sabemos que
.
Substituindo
na expressão de
:
Isso simplifica para:
Comparando com
, temos:
Passo 9
Agora que temos todas as constantes, podemos escrever a expressão final para a posição
:
Resposta
O vetor posição da partícula é: