Que curvas são representadas pelas expressões a seguir?
$ \vec{r}(t)=[4-2 t, 8 t,-3+5 t]$

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada em ℝ³ por vec r(t)=[4-2t,;8t,;-3+5t] e pede para identificar de que tipo de curva se trata. O conteúdo aqui é curvas paramétricas no espaço, em particular retas, e vamos precisar reconhecer que cada coordenada é uma função afim em t.

Passo 2

Para entender a geometria, avaliamos o ponto quando t=0 e extraímos o vetor diretor. Quando t=0 temos o ponto inicial
P=(4,0,-3)
As componentes lineares em t indicam que o vetor diretor é
vec d=lang<= -2,;8,;5rang<=
Em outras palavras,
vec r(t)= (4,0,-3) + t,( -2,8,5 )

Passo 3

Uma vez que a curva está na forma ponto + parâmetro·direção, isso descreve uma reta em ℝ³. Se quisermos a forma simétrica, basta isolar t em cada coordenada:
x-4-2=y-08=z+35
Portanto, a curva é uma reta passando por (4,0,-3) com direção (-2,8,5).

Resposta

É uma reta em ℝ³ que passa por (4,0,−3) e tem vetor diretor (−2,8,5); em forma simétrica:
x-4-2=y8=z+35

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