Quais das curvas a seguir têm assíntotas verticais? E horizontais?
(a) y=x^4
(b) y=sen x
(c) y=tg x
(d) y=tg^-1 x
(e) y=e^x
(f) y=ln x
(g) y=1 / x
(h) y=raizx

Passo 1

O enunciado lista oito funções e pede para identificar, em cada caso, onde há assíntotas verticais (pontos em que f(x)topminfty ao nos aproximarmos de algum x=a) e assíntotas horizontais (valores finitos de
limxto+inftyf(x) ou limxto-inftyf(x)). Vamos usar definições de domínio, singularidades e cálculo de limites no infinito.

Passo 2

Análise de assíntotas verticais, identificando pontos de não definição com divergência de f(x):
(a) y=x^4: domínio R, sem singularidades to não tem.
(b) y=sin x: domínio R, contínua e limitada to não tem.
(c) y=tan x: domínio Rsetminustfracpi2+kpi. Em
xtol(tfracpi2+kpir)^-, tan xto+infty, xtol(tfracpi2+kpir)^+, tan xto-infty
Logo assíntotas verticais em x=tfracpi2+kpi.
(d) y=tan^-1x: domínio R, contínua to não tem.
(e) y=e^x: domínio R, contínua to não tem.
(f) y=ln x: domínio (0,infty). Em
xto0^+, ln xto-infty,
há assíntota vertical em x=0.
(g) y=1/x: domínio Rsetminus0. Em
xto0^pm, 1/xtopminfty,
há assíntota vertical em x=0.
(h) y=raizx: domínio [0,infty). Em xto0^+, raizxto0 (finito) to não tem.

Passo 3

Análise de assíntotas horizontais, calculando limxtopminftyf(x):
(a) y=x^4: limxtopminftyx^4=+infty to não tem.
(b) y=sin x: não há limites no infinito (oscila) to não tem.
(c) y=tan x: não há limite em pminfty (periódica com saltos) to não tem.
(d) y=tan^-1x:
limxto+inftytan^-1x = pi2, limxto-inftytan^-1x = -pi2,
têm assíntotas horizontais y=pi2 e y=-pi2.
(e) y=e^x:
limxto+inftye^x=+infty, limxto-inftye^x=0,
tem assíntota horizontal y=0 (à esquerda).
(f) y=ln x: limxto+inftyln x=+infty to não tem.
(g) y=1/x:
limxto+infty1/x=0, limxto-infty1/x=0,
tem assíntota horizontal y=0.
(h) y=raizx: limxto+inftyraizx=+infty to não tem.

Passo 4

Reunindo resultados:

Resposta

Assíntotas verticais:
(c) y=tan x em x=tfracpi2+kpi,
(f) y=ln x em x=0,
(g) y=1/x em x=0.
Assíntotas horizontais:
(d) y=tan^-1x com y=pmtfracpi2,
(e) y=e^x com y=0,
(g) y=1/x com y=0.

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