(a) O que significa
ser diferenciável em
?
(b) Qual a relação entre diferenciabilidade e continuidade de uma função?
© Esboce o gráfico de uma função que é contínua, mas não diferenciável em
.
(b) Qual a relação entre diferenciabilidade e continuidade de uma função?
© Esboce o gráfico de uma função que é contínua, mas não diferenciável em
Passo 1
Neste exercício vamos entender (a) o que significa uma função ser diferenciável em um ponto, (b) como isso se relaciona com continuidade e © construir um exemplo de função contínua mas não diferenciável em
. Para isso, vamos precisar da definição de derivada como limite do quociente incremental e do conceito de continuidade.
Passo 2
Ser diferenciável em
quer dizer que o limite do quociente incremental existe e é finito. Mais formalmente, f é diferenciável em
se existir o número real
dado por
Esse limite deve convergir para um valor único, o que garante a “reta tangente” bem definida naquele ponto.
Passo 3
A relação entre diferenciabilidade e continuidade é: se
é diferenciável em
, então
é necessariamente contínua em
. Isso acontece porque, para o limite acima existir, obrigatoriamente
e conforme
o quociente tende a
(finito) e
, logo
, garantindo a continuidade. Contudo, o recíproco não vale: funções podem ser contínuas mas não ter derivada em certo ponto.
Passo 4
Um exemplo clássico é usar a função valor absoluto deslocada:
Essa função é contínua em todo
, inclusive em
, mas não é diferenciável em
porque ela tem um ‘canto’ (cusp) ali e os limites laterais do quociente incremental não coincidem. Em um esboço, o gráfico forma um ‘V’ com vértice em
.
Resposta
(a) f é diferenciável em
se existe o limite
finito. (b) Diferenciabilidade implica continuidade em
que tem vértice em
onde a derivada não existe.