(a) O que significa f ser diferenciável em a ?
(b) Qual a relação entre diferenciabilidade e continuidade de uma função?
© Esboce o gráfico de uma função que é contínua, mas não diferenciável em a=2.

Passo 1

Neste exercício vamos entender (a) o que significa uma função ser diferenciável em um ponto, (b) como isso se relaciona com continuidade e © construir um exemplo de função contínua mas não diferenciável em a=2. Para isso, vamos precisar da definição de derivada como limite do quociente incremental e do conceito de continuidade.

Passo 2

Ser diferenciável em a quer dizer que o limite do quociente incremental existe e é finito. Mais formalmente, f é diferenciável em a se existir o número real f'(a) dado por
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
Esse limite deve convergir para um valor único, o que garante a “reta tangente” bem definida naquele ponto.

Passo 3

A relação entre diferenciabilidade e continuidade é: se f é diferenciável em a), então f é necessariamente contínua em a. Isso acontece porque, para o limite acima existir, obrigatoriamente
f(a+h)-f(a)=f(a+h)-f(a)hcdot h
e conforme hto0 o quociente tende a f'(a) (finito) e hto0, logo f(a+h)-f(a)to0, garantindo a continuidade. Contudo, o recíproco não vale: funções podem ser contínuas mas não ter derivada em certo ponto.

Passo 4

Um exemplo clássico é usar a função valor absoluto deslocada:
f(x)=|x-2|
Essa função é contínua em todo R, inclusive em x=2, mas não é diferenciável em x=2 porque ela tem um ‘canto’ (cusp) ali e os limites laterais do quociente incremental não coincidem. Em um esboço, o gráfico forma um ‘V’ com vértice em (2,0).

Resposta

(a) f é diferenciável em a se existe o limite
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
finito. (b) Diferenciabilidade implica continuidade em a, mas continuidade não garante diferenciabilidade. © Um esboço de função contínua mas não diferenciável em a=2 é o ‘V’ dado por
f(x)=|x-2|,
que tem vértice em (2,0) onde a derivada não existe.

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