(a) Qual o significado de f ser contínua em a ?
(b) Qual o significado de f ser contínua no intervalo (-infty, infty) ? Nesse caso, o que se pode dizer sobre o gráfico de f ?

Passo 1

O enunciado pede (a) definir o que significa f ser contínua em um ponto a e (b) o que significa f ser contínua em todo o intervalo (-infty,infty), além de interpretar o que isso implica no gráfico de f. Vamos usar conceitos de limite de função e a definição varepsilon- de<a de continuidade.

Passo 2

Para f ser contínua em a precisamos de três coisas:
  1. f(a) está definido.
  2. O limite limxto af(x) existe.
  3. Esse limite coincide com o valor da função em a:
limxto af(x)=f(a)
Equivalentemente, na forma varepsilon- de<a:
forall varepsilon>0 exists de<a>0 tal que, se |x-a|<de<a, então |f(x)-f(a)|<varepsilon ã

Passo 3

Para f ser contínua em (-infty,infty) é preciso que ela seja contínua em todo ponto ainR, ou seja,
forall ainR:limxto af(x)=f(a)
Nesse caso, o gráfico de f não apresenta quebras, saltos ou “buracos” e pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel — não há descontinuidades nem assíntotas verticais.

Resposta

(a) A função f é contínua em a se f(a) está definido, limxto af(x) existe e limxto af(x)=f(a). Equivalentemente, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que |x-a|<de<a implica |f(x)-f(a)|<varepsilon.
(b) A função f é contínua em (-infty,infty) se for contínua em cada ainR. Nesse caso, seu gráfico é uma curva ininterrupta, sem saltos, buracos ou assimptotas verticais, isto é, desenha-se sem tirar o lápis do papel.

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