A curve given by the equation x^{3}+x y=8 has slope given by \frac{d y}{d x}=\frac{-3 x^{2}-y}{x}. The value of \frac{d^{2} y}{d x^{2}} at the point where x=2 is
(A) -6
(B) -3
(C) 0
(D) 4
(E) undefined

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada \frac{d^2y}{dx^2} de uma curva implícita dada por
x^3 + x\,y = 8.
O conteúdo envolve diferenciação implícita e regra do quociente.

Passo 2

Para achar o ponto em que x=2 pertence à curva, substituímos em x^3 + x\,y = 8:
2^3 + 2y = 8
Logo 8 + 2y = 8 e portanto y=0. O ponto é (2,0).

Passo 3

A derivada primeira é
\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - y}{x}.
Em (2,0) isso vale
\frac{dy}{dx}\Big|_{(2,0)} = \frac{-3\cdot2^2 - 0}{2} = \frac{-12}{2} = -6.

Passo 4

Para obter a segunda derivada, aplicamos a regra do quociente a
\frac{dy}{dx} = \frac{f}{g},
onde f(x,y) = -3x^2 - y e g(x)=x. Temos f' = -6x - \frac{dy}{dx} e g'=1, então
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(f'\,g - f\,g')}{g^2} = \frac{\bigl(-6x - \tfrac{dy}{dx}\bigr)\,x - (-3x^2 - y)\cdot1}{x^2} = \frac{-6x^2 - x\,\frac{dy}{dx} +3x^2 + y}{x^2} = \frac{-3x^2 - x\,\frac{dy}{dx} + y}{x^2}.

Passo 5

Substituindo x=2, y=0 e \frac{dy}{dx}=-6 na expressão acima:
\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{(2,0)} = \frac{-3\cdot2^2 - 2\cdot(-6) + 0}{2^2} = \frac{-12 + 12}{4} = 0.

Resposta

(C) 0

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