If \frac{d y}{d x}=\frac{4-x}{2 y-3} , find \frac{d^{2} y}{d x^{2}} at (-1,2)

Passo 1

O enunciado dá \frac{dy}{dx}=\frac{4-x}{2y-3} e pede \frac{d^2y}{dx^2} em (-1,2). Vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Defina u=4-x e v=2y-3. Então u'=-1 e, pela regra da cadeia, v'=2\,\frac{dy}{dx}. Aplicando a regra do quociente:
\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{u'v - u\,v'}{v^2} =\frac{-1\,(2y-3) - (4-x)\,2\frac{dy}{dx}}{(2y-3)^2}.

Passo 3

No ponto (-1,2) calculamos primeiro
\frac{dy}{dx}\Big|_{(-1,2)} =\frac{4 - (-1)}{2\cdot2 - 3} =\frac{5}{1} =5.
Substituindo em \frac{d^2y}{dx^2}:
\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{(-1,2)} =\frac{-(2\cdot2 - 3) - 2(4 - (-1))\cdot5}{(2\cdot2 - 3)^2} =\frac{-1 - 50}{1} =-51.

Resposta

-51

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