If y=x e^{x}, then \frac{d^{n} y}{d x^{n}}=
(A) e^{x}
(B) e^{n x}
(C) (x+n) e^{x}
(D) x^{n} e^{x}
(E) \left(x+n^{2}\right) e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
y = x e^{x}.
O conteúdo envolvido é a aplicação sucessiva da regra do produto e do fato de que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão e depois usar indução.

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivadas usando a regra do produto:
y' = \frac{d}{dx}(x)\,e^{x} + x\,\frac{d}{dx}(e^{x}) = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = (x+1)e^{x},
y'' = \frac{d}{dx}\bigl((x+1)e^{x}\bigr) = 1\cdot e^{x} + (x+1)\cdot e^{x} = (x+2)e^{x}.
Vemos que a cada derivação o termo constante somado a x aumenta em 1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que
y^{(n)} = (x+n)e^{x}.
Então a derivada de ordem n+1 é
y^{(n+1)} = \frac{d}{dx}\bigl((x+n)e^{x}\bigr) = 1\cdot e^{x} + (x+n)\cdot e^{x} = (x+n+1)e^{x},
confirmando que o padrão se mantém para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

(C) (x+n)e^{x}

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