If \frac{d y}{d x}=\ln x e^{y} , find \frac{d^{2} y}{d x^{2}} at (e, 1)

Passo 1

O enunciado dá a derivada primeira \displaystyle \frac{dy}{dx} = \ln x \, e^y
e pede a derivada segunda \displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} no ponto (x,y)=(e,1).
O conteúdo envolvido é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia para derivar em relação a x.

Passo 2

Por definição,
\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\,e^y\bigr).

Passo 3

Usando regra do produto em \ln x e e^y,
\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d(\ln x)}{dx}\,e^y+\ln x\,\frac{d(e^y)}{dx} =\frac{1}{x}e^y+\ln x\,e^y\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \frac{dy}{dx} em (e,1):
\frac{dy}{dx}\Big|_{(e,1)} =\ln(e)\,e^1 =1\cdot e =e.

Passo 5

Substituindo em \displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{1}{x}e^y+\ln x\,e^y\frac{dy}{dx},
no ponto (e,1) vem
\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{(e,1)} =\frac{1}{e}e + 1\cdot e\cdot e =1 + e^2.

Resposta

\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{(e,1)} = 1 + e^2.

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