Let g be the function given by g(x)=\cos (-x)-\sin x+6. Which of the following statements is true for y=g(x) ?
(A) y-6=\frac{d^{4} y}{d x^{4}}
(B) g^{(4)}(x)=\left(g^{\prime \prime}(x)\right)^{2}
(C) g^{\prime \prime}(x)-6=g(x)
(D) y^{\prime \prime}=\cos (-x)-\sin x

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\cos(-x)-\sin x+6
e pede uma relação envolvendo derivadas de ordem até a quarta. O conteúdo usado é a propriedade de paridade da função cosseno e o ciclo das derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Como o cosseno é função par, temos
\cos(-x)=\cos x
portanto
g(x)=\cos x-\sin x+6.

Passo 3

Calculamos as derivadas sucessivas de g:
g'(x)=-\sin x-\cos x,
g''(x)=-\cos x+\sin x,
g'''(x)=\sin x+\cos x,
g^{(4)}(x)=\cos x-\sin x.

Passo 4

Observamos que
g(x)-6=\cos x-\sin x
e também
g^{(4)}(x)=\cos x-\sin x.
Logo
g^{(4)}(x)=g(x)-6,
ou seja, para y=g(x) vale
y-6=\frac{d^{4}y}{dx^{4}}.

Resposta

(A)

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