O custo de uma empresa é dado por C=(x^3+5 x+162) reais. O preço unitário de venda é p=180-2 x, onde x representa o número de unidades produzidas e vendidas.
Determine o preço que maximiza o lucro.

Passo 1

O enunciado dá o custo total
C(x)=x^3+5x+162
e o preço unitário de venda
p(x)=180-2x,
onde x é o número de unidades produzidas e vendidas. Queremos o preço p que maximiza o lucro. O conteúdo necessário é otimização de funções através de cálculo de derivadas.

Passo 2

Definimos a receita total
R(x)=p(x)cdot x=(180-2x),x=180x-2x^2
e o lucro
L(x)=R(x)-C(x)=180x-2x^2-l(x^3+5x+162r)=-x^3-2x^2+175x-162

Passo 3

Para achar o máximo, calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
L'(x)=ddxl(-x^3-2x^2+175x-162r)=-3x^2-4x+175=0

Passo 4

Reescrevendo a equação,
3x^2+4x-175=0
Usando a fórmula de Bhaskara,
x=-4pmraiz4^2+4cdot3cdot1752cdot3 =-4pmraiz16+21006 =-4pm466
Desprezamos a raiz negativa e ficamos com
x=7
Verificamos a segunda derivada
L''(x)=-6x-4,
e em x=7 temos L''(7)=-46<0, confirmando que é máximo.

Passo 5

O preço que maximiza o lucro é
p=180-2cdot7=180-14=166

Resposta

O preço que maximiza o lucro é ,R$166.

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