Determinar os extremos absolutos da função f(x)=-2 x^3+3 x^2-12 x-7 no intervalo -3 <= x <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função f(x) = -2x^3 + 3x^2 - 12x - 7 no intervalo de -3 a 0 . Pra isso, vamos usar cálculos de derivadas e verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem ocorrer máximos ou mínimos.
A derivada de f(x) = -2x^3 + 3x^2 - 12x - 7 é:
f'(x) = ddx(-2x^3) + ddx(3x^2) + ddx(-12x) + ddx(-7) = -6x^2 + 6x - 12

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x) = 0 :
-6x^2 + 6x - 12 = 0
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -6:
x^2 - x + 2 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 - 82 = 1 pm raiz-72
Como o discriminante é negativo ( raiz-7), não há soluções reais. Isso significa que não existem pontos críticos dentro de R . Portanto, os extremos absolutos só estarão nos pontos finais do intervalo.

Passo 4

Como não temos pontos críticos reais, vamos avaliar a função f(x) nas extremidades do intervalo, ou seja, em x = -3 e x = 0 .
Para x = -3 :
f(-3) = -2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 12(-3) - 7 = -2(-27) + 3(9) + 36 - 7 = 54 + 27 + 36 - 7 = 110
Para x = 0 :
f(0) = -2(0)^3 + 3(0)^2 - 12(0) - 7 = 0 + 0 + 0 - 7 = -7

Passo 5

Agora, com os valores calculados nas extremidades:
  • Em x = -3 , f(-3) = 110
  • Em x = 0 , f(0) = -7
Comparando esses valores, vemos que:
  • O valor máximo absoluto é 110 em x = -3
  • O valor mínimo absoluto é -7 em x = 0

Resposta

Os extremos absolutos da função f(x) = -2x^3 + 3x^2 - 12x - 7 no intervalo [-3, 0] são:
  • Máximo absoluto de 110 em x = -3
  • Mínimo absoluto de -7 em x = 0

Exercícios relacionados