Determinar os extremos absolutos da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função
no intervalo de
a
. Pra isso, vamos usar cálculos de derivadas e verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem ocorrer máximos ou mínimos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo (
), não há soluções reais. Isso significa que não existem pontos críticos dentro de
. Portanto, os extremos absolutos só estarão nos pontos finais do intervalo.
Passo 4
Como não temos pontos críticos reais, vamos avaliar a função
nas extremidades do intervalo, ou seja, em
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, com os valores calculados nas extremidades:
- Em
, - Em
,
Comparando esses valores, vemos que:
- O valor máximo absoluto é
em - O valor mínimo absoluto é
em
Resposta
Os extremos absolutos da função
no intervalo
são:
- Máximo absoluto de
em - Mínimo absoluto de
em