(a) Verify that F(x)=x sin x+cos x is an antiderivative of f(x)=x cos x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
F(x)=xsin x+cos x
é uma primitiva (antiderivada) de
f(x)=xcos x
Para isso vamos calcular F'(x) e mostrar que ele coincide com f(x). Vamos usar a regra do produto e a derivada de cos x.

Passo 2

Calculemos ddx[xsin x] usando a regra do produto ddx[u,v]=u',v+u,v':
ddx[xsin x] =1cdotsin x + xcdotcos x =sin x + xcos x
E a derivada de cos x é
ddx[cos x]=-,sin x

Passo 3

Somando as duas partes, obtemos
F'(x) =l(sin x + xcos xr)+l(-sin xr) =xcos x
Isso coincide exatamente com f(x).

Resposta

Sim. Como F'(x)=xcos x=f(x), F(x)=xsin x+cos x é de fato uma antiderivada de f(x).

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