O custo de uma empresa é dado por C=(x^3+5 x+162) reais. O preço unitário de venda é p=180-2 x, onde x representa o número de unidades produzidas e vendidas.
O intervalo de crescimento e de decrescimento da função lucro.

Passo 1

Vamos resumir o que temos: o custo é dado por
C(x) = x^3 + 5x + 162
e o preço de venda por unidade é
p(x) = 180 - 2x
O lucro pi(x) é a receita menos o custo, e para estudar onde a função lucro cresce ou decresce vamos usar o teste da derivada, ou seja, calcular pi'(x) e analisar seu sinal.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a função lucro. A receita é R(x)=x,p(x), logo
R(x) = x,(180 - 2x) = 180x - 2x^2
Então o lucro é
pi(x) = R(x) - C(x) = (180x - 2x^2) - (x^3 + 5x + 162)
Simplificando termos semelhantes, obtemos
pi(x) = -x^3 - 2x^2 + 175x - 162

Passo 3

Agora calculamos a derivada pi'(x):
pi'(x) = ddxl(-x^3 - 2x^2 + 175x - 162r) = -3x^2 - 4x + 175
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos pi'(x)=0:
-3x^2 - 4x + 175 = 0 Long<=ftrightarrow 3x^2 + 4x - 175 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = 4^2 - 4cdot3cdot(-175) = 16 + 2100 = 2116,
cuja raiz é raiz2116=46. Portanto as raízes são
x = -4 pm 462cdot3 ;Longrightarrow; x1 = 426 = 7, x2 = -506 = -tfrac253

Passo 4

O sinal de pi'(x) segue o de uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 é -3). Assim pi'(x)>0 entre as raízes e pi'(x)<0 fora delas. Ou seja,
pi'(x)>0 se -tfrac253 < x < 7,
pi'(x)<0 se x < -tfrac253ou x > 7
Como o número de unidades x deve ser não negativo (e realisticamente x<=90 para não dar preço negativo), ficamos com
  • Crescimento de lucro em 0 <= x < 7.
  • Decrescimento de lucro em x > 7.

Resposta

O lucro cresce para
0 <= x < 7
e decresce para
x > 7

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