A posição angular de uma porta batente é descrita pela expressão theta= 500+10 t+2,00 t^2 rad. Determine a posição, velocidade e aceleração angulares da porta em (a) t=0 e (b) t=3,00 s.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática rotacional! A gente vai encontrar a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular de uma porta em dois instantes de tempo diferentes. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções matemáticas e aplicar conceitos de movimento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que descreve a posição angular da porta:
theta(t) = 500 + 10,t + 2,00,t^2 rad
Aqui, theta(t) é a posição angular em radianos e t é o tempo em segundos.

Passo 3

Para achar a velocidade angular ( omega), precisamos derivar a posição angular em relação ao tempo. A derivada de theta(t) em relação a t nos dá omega(t):
omega(t) = dthetadt = ddt(500) + ddt(10,t) + ddt(2,00,t^2) = 0 + 10 + 4,00,t = 10 + 4,00,t rad/s

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração angular ( alpha), derivamos a velocidade angular em relação ao tempo:
alpha(t) = domegadt = ddt(10) + ddt(4,00,t) = 0 + 4,00 = 4,00 rad/s^2
Perceba que a aceleração angular é constante nesse caso.

Passo 5

Vamos calcular agora os valores para os dois momentos de tempo pedidos: t = 0 e t = 3,00,s.
Para t = 0:
theta(0) = 500 + 10 times 0 + 2,00 times 0^2 = 500 rad
omega(0) = 10 + 4,00 times 0 = 10 rad/s
alpha(0) = 4,00 rad/s^2
Para t = 3,00,s:
theta(3) = 500 + 10 times 3 + 2,00 times 3^2 = 500 + 30 + 18 = 548 rad
omega(3) = 10 + 4,00 times 3 = 10 + 12 = 22 rad/s
alpha(3) = 4,00 rad/s^2

Resposta

Em t = 0,s:
  • Posição angular: 500 rad
  • Velocidade angular: 10 rad/s
  • Aceleração angular: 4,00 rad/s²
Em t = 3,00,s:
  • Posição angular: 548 rad
  • Velocidade angular: 22 rad/s
  • Aceleração angular: 4,00 rad/s²

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