O custo de uma firma é C(x)=0,1 x^2+5 x+200, e a equação de demanda é p=10-x20. Determine x para que o lucro seja máximo.

Passo 1

O enunciado diz que o custo da firma é dado por C(x)=0,1x^2+5x+200 e a demanda, ou preço em função da quantidade x, é p=10-x20. O conteúdo aqui é maximização de lucro, e vamos precisar montar a função lucro pi(x)=R(x)-C(x) e usar derivada para encontrar o ponto de máximo.

Passo 2

A receita R(x) é o preço vezes a quantidade. Então montamos:
R(x)=xcdot p=xl(10-x20r)=10x-x^220

Passo 3

A função lucro é a diferença entre receita e custo. Logo:
pi(x)=R(x)-C(x)=l(10x-tfracx^220r)-l(0,1x^2+5x+200r) Simplificando, temos
pi(x)=10x-tfracx^220-0,1x^2-5x-200=5x-0,15x^2-200

Passo 4

Para achar o máximo, calculamos a derivada de pi(x) e igualamos a zero. Temos:
pi'(x)=ddxl(5x-0,15x^2-200r)=5-0,3x Igualando a zero:
5-0,3x=0Rightarrow x=50,3=503approx16,67

Passo 5

Verificamos o sinal da segunda derivada para garantir que é um máximo. Como
pi''(x)=ddx(5-0,3x)=-0,3<0, de fato x=50/3 é ponto de máximo.

Passo 6

Portanto, a quantidade x que maximiza o lucro é x=50/3, aproximadamente 16,67 unidades.

Resposta

x=tfrac503approx16,67 unidades.

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