Custo Marginal Uma divisão das indústrias Ditton é responsável pela fabricação dos fornos de microondas Futura. O custo diário (em dólares) para produzir esses fornos de microondas é de
C(x)=0,0002 x^{3}-0,06 x^{2}+120 x+5.000
onde x denota o número de unidades produzidas.
Qual é o custo marginal quando x=100,200 e 300 ?

Passo 1

O enunciado fornece a função custo diário (em dólares)
C(x)=0,0002\,x^{3}-0,06\,x^{2}+120\,x+5.000
onde x é o número de unidades produzidas.
A pergunta é: “Qual é o custo marginal quando x=100, 200 e 300?”
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de C(x).
  • Os pontos onde precisamos avaliar o custo marginal: x=100, x=200 e x=300.

Passo 2

O que é “custo marginal” na prática (explicação didática e motivação)?
  • Intuitivamente, o custo marginal é quanto o custo total muda se produzir mais uma unidade (ou uma pequena variação no número de unidades). É uma aproximação do custo de produzir exatamente uma unidade adicional.
  • Matemática: isso corresponde à derivada da função custo C(x) em relação a x. Ou seja, o custo marginal é C'(x). Então precisamos calcular a derivada de C(x) e depois avaliar essa derivada nos pontos pedidos.

Passo 3

Regras que vou usar para derivar (mini-aula sobre derivadas, simples e prática):
  • Regra do produto por constante: se k é constante, \dfrac{d}{dx}\big(k\cdot f(x)\big)=k\cdot f'(x).
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1} para n real.
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
    Aplicando essas regras item por item em C(x):

Passo 4

Derivada de cada termo de C(x):
  • Para 0,0002\,x^{3}: usar power rule com n=3 e multiplicar pela constante 0,0002. A derivada é 0,0002\cdot 3\,x^{2}=0,0006\,x^{2}.
  • Para -0,06\,x^{2}: derivada é -0,06\cdot 2\,x = -0,12\,x.
  • Para 120\,x: derivada é 120 (pois é uma função linear).
  • Para 5.000: derivada é 0 (constante).
Somando tudo, a função custo marginal é
C'(x)=0,0006\,x^{2}-0,12\,x+120.

Passo 5

Agora avaliar C'(x) nos pontos pedidos. Vou fazer as contas passo a passo e explicar o que cada termo representa em cada avaliação.
Avaliar em x=100:
C'(100)=0,0006\cdot100^{2}-0,12\cdot100+120.
Calcular termo a termo:
100^{2}=10.000,
0,0006\cdot10.000=6,
-0,12\cdot100=-12.
Somando:
C'(100)=6-12+120=114.
Interpretação rápida: produzir cerca de uma unidade adicional quando se está produzindo 100 unidades aumenta o custo em aproximadamente \$114.
Avaliar em x=200:
C'(200)=0,0006\cdot200^{2}-0,12\cdot200+120.
Calcular termo a termo:
200^{2}=40.000,
0,0006\cdot40.000=24,
-0,12\cdot200=-24.
Somando:
C'(200)=24-24+120=120.
Interpretação: neste ponto a contribuição quadrática e a linear se anulam, ficando o custo marginal igual a \$120.
Avaliar em x=300:
C'(300)=0,0006\cdot300^{2}-0,12\cdot300+120.
Calcular termo a termo:
300^{2}=90.000,
0,0006\cdot90.000=54,
-0,12\cdot300=-36.
Somando:
C'(300)=54-36+120=138.
Interpretação: ao produzir por volta de 300 unidades, o custo de produzir mais uma unidade é aproximadamente \$138.

Passo 6

Resumo didático final (como usar isso na prova):
  • Dado C(x), calcule C'(x) aplicando a regra do poder e a linearidade.
  • Depois, substitua x pelo valor pedido e faça as contas com cuidado termo a termo (quadrado, multiplicação por constantes, soma).
  • Lembre-se sempre de informar as unidades: C'(x) está em dólares por unidade produzida (dólares por forno).

Resposta

C'(100)=114
C'(200)=120
C'(300)=138

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