Q2) O custo C em milhares de reais de produção de uma empresa é dado em função de x unidades vendidas pela equação C=x^{2}-10 x+100. Utilize o teste da segunda derivada para calcular o valor extremo do custo médio da empresa classificando-o em máximo ou mínimo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo total
C(x)=x^{2}-10x+100
em milhares de reais, onde x é o número de unidades vendidas. Queremos achar o extremo do custo médio usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

O custo médio C_{m}(x) é definido por
C_{m}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{x^{2}-10x+100}{x}=x-10+\frac{100}{x}.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada de C_{m}:
C_{m}'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x-10+\frac{100}{x}\Bigr)=1-\frac{100}{x^{2}}.
Igualando a zero para encontrar o ponto crítico:
1-\frac{100}{x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=100 \quad\Longrightarrow\quad x=10
(Descartamos x=-10 pois x>0.)

Passo 4

Para classificar esse ponto, calculamos a segunda derivada:
C_{m}''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(1-\frac{100}{x^{2}}\Bigr)=\frac{200}{x^{3}}.
Como
C_{m}''(10)=\frac{200}{10^{3}}>0,
o ponto x=10 é um mínimo local.

Passo 5

Avaliamos o custo médio em x=10 para obter o valor do mínimo:
C_{m}(10)=10-10+\frac{100}{10}=10.
Esse valor está em milhares de reais, ou seja, 10 mil reais.

Resposta

O custo médio apresenta um mínimo de 10 mil reais quando são vendidas 10 unidades.

Exercícios relacionados