A matriz A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right) tem autovalores \lambda_{1}=-3 e \lambda_{2}=2. Se K_{1}=\binom{1}{-4} e K_{2}=\binom{1}{-1} são autovetores associados a estes autovalores, marque a alternativa que contém a solução do PVI:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}=x_{1}+x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=4 x_{1}-2 x_{2} \\\ x_{1}(0)=3, x_{2}=-2 \end{array}\right.
(a) X(t)=\binom{e^{-3 t}+2 e^{2 t}}{-4 e^{-3 t}+2 e^{2 t}}
b) X(t)=\binom{e^{-3 t}+2 e^{2 t}}{-e^{-3 t}-2 e^{2 t}}
c) X(t)=\binom{-2 e^{-3 t}}{2 e^{2 t}+e^{-3 t}}
d) X(t)=\binom{e^{-3 t}+e^{2 t}}{-4 e^{-3 t}+e^{2 t}}

Passo 1

O problema é um sistema linear de equações diferenciais ordinárias homogêneo
X'(t)=A\,X(t),
com
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 4 & -2\end{pmatrix},
e condição inicial
X(0)=\begin{pmatrix}x_1(0)\x_2(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}.
Nos dão os autovalores \lambda_{1}=-3, \lambda_{2}=2 e os respectivos autovetores
K_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix},\quad K_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Para resolver, vamos usar a combinação linear das soluções fundamentais.

Passo 2

A solução geral do sistema é
X(t)=C_{1}\,e^{-3t}\,K_{1}+C_{2}\,e^{2t}\,K_{2} =\;C_{1}\,e^{-3t}\begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix} \;\\ +\;C_{2}\,e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Em componentes,
X(t) =\begin{pmatrix} C_{1}\,e^{-3t}+C_{2}\,e^{2t}\\[6pt] -4\,C_{1}\,e^{-3t}-C_{2}\,e^{2t} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Impondo a condição inicial X(0)=(3,-2)\), obtemos o sistema para \(C_{1},C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=3,\\\\ -4\,C_{1}-C_{2}=-2. \end{cases}
Somando as duas equações:
(C_{1}+C_{2})+(-4\,C_{1}-C_{2})=3+(-2) \;\Longrightarrow\;-3\,C_{1}=1 \;\Longrightarrow\;C_{1}=-\tfrac13.
Então (C_{2}=3-C_{1}=3+ \tfrac13=\tfrac{10}{3}.]

Passo 4

Substituindo C_{1} e C_{2} em X(t):
X(t) =\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3}\,e^{-3t}+\tfrac{10}{3}\,e^{2t}\\[6pt] \tfrac{4}{3}\,e^{-3t}-\tfrac{10}{3}\,e^{2t} \end{pmatrix} =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 10\,e^{2t}-e^{-3t}\\[4pt] 4\,e^{-3t}-10\,e^{2t} \end{pmatrix}.
Esse é o único vetor-solução que satisfaz X(0)=(3,-2).]

Passo 5

Nenhuma das alternativas apresentadas coincide com
X(t)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}10\,e^{2t}-e^{-3t}\\\ 4\,e^{-3t}-10\,e^{2t}\end{pmatrix}.

Resposta

Não há alternativa correta dentre as dadas.

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