Q1) O lucro L em milhares de reais de uma empresa é dado por L=x^{3}-18 x^{2}+96 x, onde x representa o número de centenas de unidades produzidas.
a) Descreva as coordenadas dos pontos críticos.
b) Descreva as coordenadas do ponto de inflexão.
c) Descreva os intervalos de crescimento e de decrescimento da função lucro.
d) Quantas unidades devem ser vendidas para se obter o maior lucro possivel?
e) Quantas unidades devem ser vendidas de modo que a taxa de de variação do lucro seja a menor possivel?

Passo 1

O enunciado dá a função lucro
L(x)=x^{3}-18x^{2}+96x
onde x é o número de centenas de unidades.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos, inflexão, monotonia e interpretação do lucro máximo e da taxa de variação mínima.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos:
L'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-18x^{2}+96x\bigr) =3x^{2}-36x+96 =3(x^{2}-12x+32) =3(x-4)(x-8).
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos em x=4 e x=8. Para cada um deles, calculamos L(x):
L(4)=4^{3}-18\cdot4^{2}+96\cdot4 =64-288+384=160,
L(8)=8^{3}-18\cdot8^{2}+96\cdot8 =512-1152+768=128.

Passo 3

Para classificar esses pontos, usamos a segunda derivada:
L''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-36x+96\bigr) =6x-36.
Em x=4:
L''(4)=6\cdot4-36=-12<0,
logo x=4 é ponto de máximo local em (4,160).
Em x=8:
L''(8)=6\cdot8-36=12>0,
logo x=8 é ponto de mínimo local em (8,128).

Passo 4

O ponto de inflexão ocorre onde L''(x)=0:
6x-36=0\implies x=6.
O valor do lucro ali é
L(6)=6^{3}-18\cdot6^{2}+96\cdot6 =216-648+576=144,
portanto ponto de inflexão em (6,144).

Passo 5

Para monotonia, analisamos o sinal de L'(x)=3(x-4)(x-8):
– Se x<4, ambos (x-4) e (x-8) são negativos, produto positivo \Rightarrow L cresce em (-\infty,4).
– Se 4<x<8, (x-4)>0 e (x-8)<0, produto negativo \Rightarrow L decresce em (4,8).
– Se x>8, ambos fatores são positivos, produto positivo \Rightarrow L cresce em (8,\infty).

Passo 6

O maior lucro local ocorre no máximo em x=4 (hundreds), ou seja, 4\times100=400 unidades, com lucro de 160 mil reais.

Passo 7

A taxa de variação do lucro é L'(x). Como L'(x) é uma parábola de concavidade para cima, seu valor mínimo ocorre no vértice x=(4+8)/2=6. Assim, para ter a menor taxa de variação, devem-se produzir 6\times100=600 unidades.

Resposta

a) Pontos críticos: (4,160) e (8,128).
b) Ponto de inflexão: (6,144).
c) Cresce em (-\infty,4) e em (8,\infty); decresce em (4,8).
d) Para maior lucro local, vender 400 unidades.
e) Para menor taxa de variação, vender 600 unidades.

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