Q1) O lucro
em milhares de reais de uma empresa é dado por
, onde
representa o número de centenas de unidades produzidas.
a) Descreva as coordenadas dos pontos críticos.
b) Descreva as coordenadas do ponto de inflexão.
c) Descreva os intervalos de crescimento e de decrescimento da função lucro.
d) Quantas unidades devem ser vendidas para se obter o maior lucro possivel?
e) Quantas unidades devem ser vendidas de modo que a taxa de de variação do lucro seja a menor possivel?
a) Descreva as coordenadas dos pontos críticos.
b) Descreva as coordenadas do ponto de inflexão.
c) Descreva os intervalos de crescimento e de decrescimento da função lucro.
d) Quantas unidades devem ser vendidas para se obter o maior lucro possivel?
e) Quantas unidades devem ser vendidas de modo que a taxa de de variação do lucro seja a menor possivel?
Passo 1
O enunciado dá a função lucro
onde
é o número de centenas de unidades.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos, inflexão, monotonia e interpretação do lucro máximo e da taxa de variação mínima.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos, inflexão, monotonia e interpretação do lucro máximo e da taxa de variação mínima.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos:
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos em
e
. Para cada um deles, calculamos
:
Passo 3
Para classificar esses pontos, usamos a segunda derivada:
Em
:
logo
é ponto de máximo local em
.
Em :
Em
logo
é ponto de mínimo local em
.
Passo 4
O ponto de inflexão ocorre onde
:
O valor do lucro ali é
portanto ponto de inflexão em
.
Passo 5
Para monotonia, analisamos o sinal de
:
– Se , ambos
e
são negativos, produto positivo
cresce em
.
– Se ,
e
, produto negativo
decresce em
.
– Se , ambos fatores são positivos, produto positivo
cresce em
.
– Se
– Se
– Se
Passo 6
O maior lucro local ocorre no máximo em
(hundreds), ou seja,
unidades, com lucro de
mil reais.
Passo 7
A taxa de variação do lucro é
. Como
é uma parábola de concavidade para cima, seu valor mínimo ocorre no vértice
. Assim, para ter a menor taxa de variação, devem-se produzir
unidades.
Resposta
a) Pontos críticos:
e
.
b) Ponto de inflexão: .
c) Cresce em e em
; decresce em
.
d) Para maior lucro local, vender unidades.
e) Para menor taxa de variação, vender unidades.
b) Ponto de inflexão:
c) Cresce em
d) Para maior lucro local, vender
e) Para menor taxa de variação, vender