Q3) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=10 \sqrt[5]{x} no ponto \mathrm{x}= -1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função
f(x) = 10\sqrt[5]{x} = 10\,x^{1/5}
no ponto em que x=-1. Para isso, precisamos de dois elementos: o ponto de tangência \bigl(-1,f(-1)\bigr) e o coeficiente angular m=f'(-1), obtido pela derivada de f.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x)=10\,x^{1/5} usando a regra do expoente:
f'(x) = 10 \cdot \frac{1}{5}\,x^{1/5-1} = 2\,x^{-4/5}.

Passo 3

Em seguida, avaliamos f e f' em x=-1:
f(-1) = 10\,(-1)^{1/5} = 10\cdot(-1) = -10,
f'(-1) = 2\,(-1)^{-4/5}.
Como (-1)^{1/5}=-1, temos (-1)^{-4/5} = 1/((-1)^{4/5}) = 1/((-1)^{1/5})^4 = 1/((-1)^4)=1. Logo,
f'(-1) = 2\cdot1 = 2.

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente em \bigl(x_0,f(x_0)\bigr)=(-1,-10) com m=2:
y - f(-1) = m\bigl(x - (-1)\bigr)
y + 10 = 2\,(x+1).
Isolando y, obtemos
y = 2x + 2 - 10 = 2x - 8.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 2x - 8.

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