Q4) O custo C milhares de reais referente ao funcionamento de uma empresa é dado em funçāo de x que representa o percentual de mão obra utilizada. A empresa tem uma politica de manutenção preventiva que procura fazer com que o processo de fabricação esteja sempre funcionado com 70 \% de sua capacidade máxima de mão de obra gerando assim o nível de produção considerado ideal. O modelo matemático que relaciona C e x é dado pela função:
C=\frac{10 x^{2}-1000 x+21000}{x^{2}-90 x+1400}
a) Calcule o valor limite do custo no nivel de produção considerado ideal pela empresa.
b) De acordo com o modelo matemático apresentado é viável para a empresa trabalhar com 20 \% de sua capacidade máxima de mão de obra? Justifique sua resposta sinalizando o comportamento do parâmetro C (custo) neste contexto utilizando limites laterais, ou seja, x tendendo a 20+ e/ou x tendendo a 20^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
C(x)=\frac{10x^{2}-1000x+21000}{x^{2}-90x+1400},
onde x é o percentual de mão de obra usado (em \%) e o nível ideal de produção é x=70\%. Precisamos (a) calcular \lim_{x\to70}C(x) e (b) verificar se trabalhar com x=20\% é viável, estudando \lim_{x\to20^-}C(x) e \lim_{x\to20^+}C(x).

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador para identificar eventuais simplificações ou assíntotas.
x^{2}-90x+1400=(x-20)(x-70),
10x^{2}-1000x+21000=10\bigl(x^{2}-100x+2100\bigr)=10(x-70)(x-30).
Logo, para x\neq20,70,
C(x) =\frac{10(x-70)(x-30)}{(x-20)(x-70)} =\frac{10(x-30)}{x-20}.

Passo 3

Para o nível ideal x\to70 temos uma simplificação (é um ponto removível):
\lim_{x\to70}C(x) =\lim_{x\to70}\frac{10(x-30)}{x-20} =\frac{10(70-30)}{70-20} =\frac{10\cdot40}{50} =8.
Logo o custo tende a 8 milhares de reais.

Passo 4

Em x=20 o denominador anula-se mas o numerador não, indicando uma assíntota vertical. Usando a forma simplificada:
C(x)=\frac{10(x-30)}{x-20},
para x\to20^- temos x-30<0 e x-20<0, então
\lim_{x\to20^-}C(x)=+\infty.
Para x\to20^+ temos x-30<0 e x-20>0, logo
\lim_{x\to20^+}C(x)=-\infty.

Passo 5

O custo explode para +\infty ao aproximar-se de 20\% por abaixo e vai a -\infty por acima (o que não faz sentido físico). Isso mostra forte instabilidade no modelo em x=20\%, tornando inviável operar nesse nível de mão de obra.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to70}C(x)=8 milhares de reais.
(b) Não é viável trabalhar com 20\% de mão de obra, pois em x=20 ocorre assíntota vertical com
\lim_{x\to20^-}C(x)=+\infty e \lim_{x\to20^+}C(x)=-\infty.

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