A partir da tabela de séries conhecidas, determine cada uma das seguintes séries
\frac{\pi}{3}+\frac{\pi^{3}}{3^{3} \cdot 3!}+\frac{\pi^{5}}{3^{5} \cdot 5!}+\frac{\pi^{7}}{3^{7} \cdot 7!}+\frac{\pi^{9}}{3^{9} \cdot 9!}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\frac{\pi}{3}+\frac{\pi^{3}}{3^{3}\cdot3!}+\frac{\pi^{5}}{3^{5}\cdot5!}+\frac{\pi^{7}}{3^{7}\cdot7!}+\cdots
e sugere usar séries conhecidas como as expansões de e^{x}, \sin x, \cos x, \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x. Observamos que todos os termos são de ordem ímpar, não alternam sinal e o denominador é (2n+1)!, o que lembra a expansão de \operatorname{sinh} x.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral da série indexando por n:
\frac{\pi^{2n+1}}{3^{2n+1}\,(2n+1)!} =\frac{\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)^{2n+1}}{(2n+1)!}\,.
Portanto a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)^{2n+1}}{(2n+1)!}\,.

Passo 3

Lembramos que a função \operatorname{sinh} x tem a expansão em série de Taylor
\operatorname{sinh} x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,.

Passo 4

Comparando as duas séries, vemos que basta tomar x=\tfrac{\pi}{3}. Logo
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\,.

Resposta

\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\frac{e^{\pi/3}-e^{-\pi/3}}{2}\,.

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