Utilize séries para avaliar os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x-x^{2} / 2}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x - x^2/2}{x^4}
usando expansão em séries de Taylor de funções elementares em torno de 0.

Passo 2

Recordamos a série de Taylor de \cos x em torno de 0:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots.

Passo 3

Substituímos essa expansão no numerador:
1 - \cos x - \frac{x^2}{2} = 1 - \Bigl(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots\Bigr) - \frac{x^2}{2} = -\frac{x^4}{24} + O(x^6).

Passo 4

Dividindo por x^4 e tomando o limite:
\frac{1-\cos x - x^2/2}{x^4} = \frac{-\tfrac{x^4}{24} + O(x^6)}{x^4} = -\frac{1}{24} + O(x^2) \;\longrightarrow\; -\frac{1}{24}.

Resposta

-\tfrac{1}{24}

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