Encontre a solução do problema de valor inicial x^2 dy/dx + x*y = 1, y(1) = 2. Dica: primeiro coloque a EDO na
forma padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de valor inicial:
Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos colocar a EDO na forma padrão e seguir os passos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear. A forma geral é:
Vamos dividir os dois lados da equação original por para isolar :
Agora, temos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral:
Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e do lado direito:
onde é a constante de integração.
Então temos:

Passo 6

Isolando :
Como estamos trabalhando com (já que e ), podemos simplificar para:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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