Encontre a solução do problema de valor inicial
. Dica: primeiro coloque a EDO na
forma padrão.
forma padrão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de valor inicial:
Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos colocar a EDO na forma padrão e seguir os passos para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear. A forma geral é:
Vamos dividir os dois lados da equação original por
para isolar
:
Agora, temos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e do lado direito:
onde
é a constante de integração.
Então temos:
Passo 6
Isolando
:
Como estamos trabalhando com
(já que
e
), podemos simplificar para:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: